Общий знаменатель нескольких дробей — это число, которое делится на знаменатель каждой из них, их общее кратное.
- Количество — таких чисел бесконечно много.
- НОЗ — среди них выделяют наименьший общий знаменатель (НОЗ), он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей.
- Пример: у дробей 1/4 и 1/6 общими знаменателями будут 12, 24, 36, а наименьшим — 12.
- Зачем нужен — единый знаменатель нужен, когда дроби складывают, вычитают или сравнивают: эти действия выполняют с дробями, у которых знаменатели одинаковы.
- Три шага — твоя работа укладывается в три шага: найти НОЗ, вычислить дополнительный множитель для каждой дроби и умножить на него числитель и знаменатель. Значение дроби при этом не меняется — по основному свойству дроби.
Как это спрашивают на экзамене
Приём встречается в заданиях трёх типов:
- вычислить числовое выражение;
- упростить алгебраическую дробь;
- сравнить числа.
Формулировки выглядят так:
«Найдите значение выражения 7/12 + 5/18».
«Упростите выражение a/(a − 3) + 3/(3 − a) и найдите его значение при a = 5».
«Сравните числа 5/7 и 7/10».
В первом и третьем случае первый шаг одинаков — привести дроби к единому знаменателю.
Во втором случае сначала смотрят на знаки: 3 − a = −(a − 3), поэтому 3/(3 − a) = −3/(a − 3), и после смены знака знаменатели совпадают. Приводить уже нечего, остаётся сложить числители.
Наименьший общий знаменатель: три способа
Способ поиска НОЗ зависит от того, какие знаменатели тебе достались.
Перебор кратных. Выписываем числа, кратные большему знаменателю, и останавливаемся на первом, которое делится на меньший.
Пример: знаменатели 4 и 6. Кратные шести — 6, 12; число 12 делится на 4, значит НОЗ = 12.
Разложение на простые множители. Каждый знаменатель раскладываем на простые множители, а НОЗ собираем из всех множителей в наибольшей степени.
Пример: для 12 = 2² · 3 и 18 = 2 · 3² получаем НОЗ = 2² · 3² = 36. Этот способ выручает при больших знаменателях, где перебор затянется надолго.
Произведение для взаимно простых чисел. Если общих делителей, кроме единицы, у знаменателей нет, их НОК равно произведению.
Пример: для 5 и 9 нужное число — 45.
| Способ | Когда удобен | Пример |
|---|---|---|
| Перебор кратных | Небольшие знаменатели | 4 и 6 → 12 |
| Разложение на простые множители | Большие знаменатели | 12 и 18 → 36 |
| Произведение | Взаимно простые знаменатели | 5 и 9 → 45 |
Дополнительные множители
Найти НОЗ — половина дела. Дальше каждую дробь нужно переписать с новым знаменателем.
Дополнительный множитель — это число, на которое умножают и числитель, и знаменатель дроби, чтобы знаменатель стал равен общему. Находят его делением НОЗ на знаменатель дроби.
Пример: 3/4 + 5/6.
- Наименьший общий знаменатель равен 12.
- У первой дроби дополнительный множитель 12 : 4 = 3, у второй 12 : 6 = 2.
Тогда:
3/4 = (3 · 3)/(4 · 3) = 9/12, а 5/6 = (5 · 2)/(6 · 2) = 10/12.
Складываем числители: 9/12 + 10/12 = 19/12 = 1 7/12.
Обрати внимание: домножается вся дробь целиком. Умножишь только знаменатель — дробь изменит значение, и ответ будет неверным.
Смешанные числа. Если в выражении стоят смешанные числа, перед сложением или вычитанием их переводят в неправильные дроби, а дальше работает тот же алгоритм.
Сравнение дробей. Для него нужен тот же приём. После приведения к единому знаменателю сравнивают числители: чем больше числитель, тем больше дробь.
Пример: 5/7 и 7/10 дают 50/70 и 49/70, поэтому 5/7 > 7/10.
Алгебраические дроби
Правило здесь то же, но роль чисел играют одночлены и многочлены. Если с числовыми дробями ты уже освоился, нового будет немного.
НОЗ для одночленов
- Коэффициент НОЗ — это НОК числовых коэффициентов.
- Переменные — каждая берётся в наибольшей из степеней.
Пример: знаменатели 6a²b и 4ab³. НОК(6, 4) = 12, переменные — a² и b³, и НОЗ = 12a²b³.
НОЗ для многочленов
Многочлены сначала раскладывают на множители: выносят общий множитель за скобки или применяют формулы сокращённого умножения. Пример, который стоит запомнить:
1/(x − 2) + 1/(x + 2).
Знаменатели уже неразложимы, общих множителей у них нет, отсюда НОЗ = (x − 2)(x + 2) = x² − 4 по формуле разности квадратов. Дополнительный множитель первой дроби — (x + 2), второй — (x − 2):
(x + 2)/(x² − 4) + (x − 2)/(x² − 4) = (x + 2 + x − 2)/(x² − 4) = 2x/(x² − 4).
Допустимые значения. Не забудь про допустимые значения переменной: знаменатель не равен нулю, поэтому x ≠ 2 и x ≠ −2.
Ловушка. Здесь тебя ждёт ловушка: если бы один из знаменателей был записан как x² − 4, его пришлось бы сначала разложить в (x − 2)(x + 2), иначе общий знаменатель получится завышенным.
Разбор задания
Задание в формате ОГЭ на вычисление выражения с тремя дробями.
Условие. Найдите значение выражения: 5/6 + 3/4 − 7/12.
Решение.
- Ищем НОЗ знаменателей 6, 4 и 12. Число 12 делится и на 6, и на 4, значит НОЗ = 12.
- Дополнительные множители: 12 : 6 = 2, 12 : 4 = 3, 12 : 12 = 1.
- Приводим дроби: 5/6 = 10/12; 3/4 = 9/12; 7/12 остаётся как есть.
- Выполняем действия с числителями: 10/12 + 9/12 − 7/12 = 12/12 = 1.
Ответ: 1.
Проверка. Проверить себя можно прикидкой в десятичных дробях: 5/6 ≈ 0,83; 3/4 = 0,75; 7/12 ≈ 0,58. Тогда 0,83 + 0,75 − 0,58 = 1,00, совпадает с ответом.
Такая прикидка занимает полминуты и ловит грубые ошибки в дополнительных множителях.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Складывают знаменатели. Запись 1/4 + 1/6 = 2/10 — грубая ошибка. Складывают дроби с одинаковыми знаменателями, и сам знаменатель при сложении не меняется. Верно так: 3/12 + 2/12 = 5/12.
- Забывают домножить числитель. Умножил знаменатель на дополнительный множитель, а числитель оставил прежним — получил другую дробь. Домножаются обе части: 3/4 = 9/12, а не 3/12.
- Берут произведение вместо НОЗ и не сокращают. Для 4 и 6 произведение равно 24, хотя НОЗ равен 12. С 24 работать можно, но итоговую дробь придётся сократить: результат сокращают, если этого требует формат ответа или критерии проверки.
- Теряют знак при вычитании. В выражении a/(a² − 9) − (a − 3)/(a² − 9) минус относится ко всему числителю: a − (a − 3) = a − a + 3 = 3. Кто раскрывает скобку без смены знака, получает a − a − 3 = −3 и неверный ответ.
- Приводят дроби к единому знаменателю при умножении. Он нужен для сложения, вычитания и сравнения. При умножении и делении дробей он не требуется, а лишние преобразования увеличивают риск ошибки.
Шпаргалка
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю:
- Найди НОЗ — наименьшее общее кратное знаменателей.
- Раздели НОЗ на знаменатель каждой дроби — получишь дополнительные множители.
- Умножь числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
- Выполни действие с числителями и сократи результат, если это возможно.
Выучить наизусть:
- НОЗ = НОК знаменателей;
- для взаимно простых знаменателей нужное число равно их произведению;
- x² − a² = (x − a)(x + a) — основная формула для разложения знаменателей;
- знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
Проверь себя
Чему равен наименьший общий знаменатель дробей 5/8 и 7/12?
24.
Какой дополнительный множитель нужен дроби 3/4 при приведении к знаменателю 20?
5 (получится 15/20).
Чему равен НОЗ дробей со знаменателями 7 и 9?
63, потому что 7 и 9 взаимно простые.
Сравните дроби 2/3 и 3/5.
2/3 > 3/5, так как 10/15 > 9/15.
