Формула Ньютона — Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a).
- Алгоритм — найди первообразную F для функции f и вычти её значение в левом конце отрезка из значения в правом.
- Без пределов — пределы и бесконечные суммы не понадобятся: определённый интеграл вычисляют через два значения первообразной.
- На ЕГЭ — формула нужна тебе прежде всего для того, чтобы найти площадь криволинейной трапеции через первообразную.
- Пример: на рисунке дан график F(x), а f ≥ 0 на отрезке. Тогда площадь фигуры под графиком f(x) между двумя вертикальными прямыми равна разности двух значений F.
- Значения F — оба значения читаются с графика.
Как это спрашивают на экзамене
Типичные формулировки заданий:
«По графику первообразной F(x) найти площадь закрашенной фигуры под f(x) между x = a и x = b».
«Найти F(x₀), если известны f(x) и F(a)».
«По графику F(x) найти число решений f(x) = 0 на отрезке».
Главное: все три проверяют одно умение — переходить от F к f и обратно.
Если дан график F, а спрашивают про f, помни, что f — производная F. Читай график через возрастание и убывание. Решения f(x) = 0 — это все точки графика F с горизонтальной касательной, а не только точки экстремума.
Первообразная: определение и таблица
Основное понятие темы — первообразная. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке, если F′(x) = f(x) для всех x из этого промежутка.
Первообразная определена неоднозначно: если F(x) подходит, то подходит и F(x) + C при любой константе C. Все первообразные функции f записываются как F(x) + C.
Каждую строку таблицы можно проверить дифференцированием. Делай это всякий раз, когда сомневаешься.
| f(x) | F(x) | Проверка производной |
|---|---|---|
| k | kx + C | (kx + C)′ = k |
| xⁿ | xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1 | (xⁿ⁺¹/(n + 1) + C)′ = xⁿ |
| 1/x | ln|x| + C | (ln|x| + C)′ = 1/x |
| eˣ | eˣ + C | (eˣ + C)′ = eˣ |
| aˣ | aˣ/ln a + C | (aˣ/ln a + C)′ = aˣ |
| sin x | −cos x + C | (−cos x + C)′ = sin x |
| cos x | sin x + C | (sin x + C)′ = cos x |
| 1/cos²x | tg x + C | (tg x + C)′ = 1/cos²x |
| 1/sin²x | −ctg x + C | (−ctg x + C)′ = 1/sin²x |
Формулы работают при условиях:
- для aˣ нужно a > 0 и a ≠ 1;
- формулы для 1/x, 1/cos²x и 1/sin²x применяют на промежутках, где эти функции определены:
- для 1/x — на промежутке, не содержащем 0;
- для 1/cos²x — где cos x ≠ 0;
- для 1/sin²x — где sin x ≠ 0.
Таблицу расширяют три правила:
- Сумма: первообразная суммы равна сумме первообразных.
- Постоянный множитель выносится: первообразная для k·f(x) — это k·F(x).
- Сдвиг и сжатие: если F′(x) = f(x) и k ≠ 0, то первообразная для f(kx + b) — это (1/k)F(kx + b).
Пример: для cos 3x первообразная равна (1/3)sin 3x + C.
Запомни и связь с графиком:
- там, где f > 0, первообразная F возрастает; где f < 0 — убывает;
- нули f — стационарные точки F: касательная к графику F там горизонтальна;
- экстремум F бывает только в тех нулях, где f меняет знак.
На этой связи построены задания с графиком первообразной.
Формула Ньютона — Лейбница и условия применимости
Точная формулировка. Если f непрерывна на отрезке [a; b] и F — любая её первообразная на этом отрезке, то
∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) = F(x)|ₐᵇ.
Запись F(x)|ₐᵇ читается как «подстановка от a до b» и означает F(b) − F(a). Константа C при подстановке сокращается: какую первообразную ты ни возьмёшь, результат один.
Оба условия существенны.
| Условие | Зачем | Что бывает при нарушении |
|---|---|---|
| f непрерывна на отрезке [a; b] | Формулу применяют для функции, непрерывной на всём отрезке | У 1/x² на [−1; 1] разрыв в нуле, формальный счёт неверен |
| F — первообразная f на всём отрезке [a; b] | Нужны значения одной первообразной на обоих концах отрезка | Формулу нельзя применять через участок, где первообразная не задана |
Пример: допустим, ты формально подставил −1/x в концы отрезка [−1; 1] для функции 1/x². Получится −2, хотя 1/x² всюду положительна. Счёт через точку разрыва даёт бессмыслицу.
Про знак: если f < 0 на всём отрезке, интеграл отрицателен, а площадь фигуры равна его модулю.
Площадь криволинейной трапеции: что именно в кодификаторе
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной функции y = f(x), осью Ox и прямыми x = a и x = b. Если f ≥ 0 на отрезке, её площадь S = F(b) − F(a).
Когда функция меняет знак, интеграл даёт ориентированную площадь: участки, где f < 0, входят в него с минусом. Геометрическую площадь считают по формуле
S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx.
На практике отрезок делят нулями f на части, на каждой считают интеграл и складывают модули результатов. Различай два вопроса, «найти интеграл» и «найти площадь»: ответы могут не совпасть.
Площадь между двумя графиками на [a; b] равна
S = ∫ₐᵇ (f_верхняя(x) − f_нижняя(x)) dx.
Если графики пересекаются внутри отрезка, его делят в точках пересечения: на каждой части верхней оказывается своя функция.
В кодификаторе профильного ЕГЭ тема входит в раздел о первообразной и интеграле. От тебя ждут знания формул первообразных элементарных функций и умения находить с их помощью площадь криволинейной трапеции.
Два счётных примера.
Пример 1. Площадь под параболой y = x² на [0; 2]:
∫₀² x² dx = x³/3 |₀² = 8/3 − 0 = 8/3.
Пример 2. Площадь под y = 4 − x² на [−2; 2]:
∫₋₂² (4 − x²)dx = (4x − x³/3)|₋₂² = (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 32/3.
Если график симметричен, как здесь, ответ легко проверить: посчитай интеграл от 0 до 2 и удвой. Выйдет те же 32/3.
Разбор задания
Условие: «На рисунке график y = F(x) — одной из первообразных f(x). Найдите площадь фигуры под графиком f между x = 1 и x = 3».
Решаем по шагам.
- Проверяем знак f. На рисунке F возрастает на всём отрезке [1; 3], поэтому f = F′ ≥ 0 и интеграл равен площади.
- По формуле Ньютона — Лейбница S = F(3) − F(1).
- Читаем значения с графика и подставляем: S = 15,5 − 9,5 = 6.
- Ответ: 6.
Если бы F на отрезке где-то убывала, разность F(3) − F(1) дала бы только интеграл, а не площадь. Тогда отрезок делят в точках, где F меняет характер монотонности, и складывают модули разностей.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Вычитают значения в обратном порядке. F(a) − F(b) даёт ответ с противоположным знаком. В формуле значение на верхнем пределе стоит первым: F(b) − F(a).
- Забывают модуль, когда график лежит под осью Ox. Интеграл там отрицателен, а площадь отрицательной не бывает. Если функция меняет знак, модуль всего интеграла тоже не спасёт: раздели отрезок по нулям f и сложи модули интегралов по частям.
- Путают f и F на рисунке. Если дан график первообразной, значения для площади читаются с него напрямую, интегрировать не нужно. С графика самой f читают знаки и нули, но не значения F.
- Считают через точку разрыва. Например, для 1/x² на [−1; 1] формула неприменима: в нуле функция терпит разрыв.
- Не проверяют первообразную производной. Ошибка в коэффициенте, особенно в правиле для f(kx + b), даёт неверный ответ. Продифференцируй свою F: должна получиться исходная f.
Шпаргалка
Перед экзаменом пробеги этот список.
- Формула: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a), где F′(x) = f(x); запись F(x)|ₐᵇ означает ту же разность.
- Условия: f непрерывна на отрезке, F — её первообразная на всём отрезке.
- Площадь трапеции: при f ≥ 0 разность F(b) − F(a) равна площади криволинейной трапеции. При смене знака S = ∫ₐᵇ |f(x)| dx: отрезок делят по нулям f и складывают модули интегралов.
- Площадь между графиками: ∫(f_верхняя − f_нижняя)dx, при пересечении графиков — по частям.
- Правило сдвига и сжатия: первообразная для f(kx + b) при k ≠ 0 — это (1/k)F(kx + b).
- Связь графиков: f > 0 → F возрастает; нули f → стационарные точки F; экстремум F — там, где f меняет знак.
Если из всего списка учить одно, учи саму формулу и таблицу первообразных: остальное выводится из них.
Проверь себя
Реши без подсказок, а потом сверься с ответами.
Вычисли ∫₀² x dx.
2
Найди площадь фигуры под графиком y = sin x на отрезке [0; π].
2
Вычисли ∫₁³ x² dx.
26/3
Найди площадь фигуры между графиками y = x и y = x² на отрезке [0; 1].
1/6
