Формула синуса двойного угла: sin 2α = 2 sin α·cos α.
- Любое α — формула верна для любого α.
- Косинус двойного угла — три формы: cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1.
- Тангенс двойного угла — tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α).
- Профильный ЕГЭ — sin 2α и cos 2α напечатаны в справочных материалах: в демоверсии ФИПИ 2026 года на листе четыре формулы — sin 2α, cos 2α и две формулы сложения.
- Базовый ЕГЭ — на листе формул двойного угла нет.
Главное: в заданиях формулу нужно узнать в свёрнутом виде.
Пример: произведение 3 sin α·cos α — это 1,5 sin 2α: вынеси коэффициент 1,5 и сверни остаток.
Как это спрашивают на экзамене
Прочитай типовые формулировки до теории: так будет понятно, зачем нужен каждый следующий раздел.
«Найдите значение выражения 3 sin(13π/12)·cos(13π/12)»
«Найдите sin 2α, если известны sin α и четверть»
«Найдите cos 2α, если известен sin α»
«Упростите выражение вида sin 2α/(2 sin α)»
Есть и ещё один тип — уравнение.
Если в одном уравнении стоят cos 2x и sin x, раскрывай косинус двойного угла по форме 1 − 2 sin²x. Уравнение сведётся к квадратному относительно sin x.
Откуда берётся формула: вывод из формул сложения
Формулы сложения принимаем без доказательства:
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
Подставь β = α в первую формулу: sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α = 2 sin α·cos α. Отсюда sin 2α = 2 sin α·cos α.
Та же подстановка во вторую формулу даёт cos 2α = cos²α − sin²α.
Две другие формы косинуса получаются из основного тригонометрического тождества sin²α + cos²α = 1:
- Если заменить cos²α на 1 − sin²α, выйдет cos 2α = 1 − 2 sin²α.
- Если заменить sin²α на 1 − cos²α, выйдет cos 2α = 2 cos²α − 1.
Проверка: проверь вывод на табличных значениях. Например, при α = 30° получаем 2 sin 30°·cos 30° = 2·(1/2)·(√3/2) = √3/2 = sin 60°. Совпало.
В школьном курсе этот вывод дан в учебнике Алимова, §29 «Синус, косинус и тангенс двойного угла».
Косинус и тангенс двойного угла: формы и условия
Какую форму брать, зависит от того, что известно в условии. Везде ниже n ∈ Z.
| Формула | Через что выражена | Условие | Когда применять |
|---|---|---|---|
| sin 2α = 2 sin α·cos α | sin α и cos α | любое α | свернуть произведение |
| cos 2α = cos²α − sin²α | sin α и cos α | любое α | известны sin α и cos α |
| cos 2α = 1 − 2 sin²α | sin α | любое α | известен только sin α; в уравнениях |
| cos 2α = 2 cos²α − 1 | cos α | любое α | известен только cos α |
| tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α) | tg α | α ≠ π/4 + πn/2 (иначе tg 2α не существует) и α ≠ π/2 + πn (иначе не определён tg α) | известен tg α |
Главное: если в условии дан только sin α, бери форму cos 2α = 1 − 2 sin²α. Тебе не придётся искать косинус и следить за его знаком.
Из форм косинуса следуют формулы понижения степени:
sin²α = (1 − cos 2α)/2
cos²α = (1 + cos 2α)/2
Синус и косинус двойного угла можно выразить и через тангенс одинарного:
sin 2α = 2 tg α/(1 + tg²α), где α ≠ π/2 + πn
cos 2α = (1 − tg²α)/(1 + tg²α), где α ≠ π/2 + πn
Ловушка: у самих функций и у их записей через tg α разные ограничения.
- Функции sin 2α и cos 2α определены при любом α.
- Функция tg 2α не определена только при α = π/4 + πn/2: тогда cos 2α = 0.
- Условие α ≠ π/2 + πn относится к записям через tg α: при таком α не существует tg α.
- Сам tg 2α при α = π/2 + πn определён и равен 0, но найти его по формуле через tg α нельзя.
Как применять: четыре типовых приёма
- Свернуть произведение. Если коэффициент перед sin α·cos α не равен 2, вынеси лишний множитель.
- Пример: 4 sin(π/8)·cos(π/8) = 2·2 sin(π/8)·cos(π/8) = 2 sin(π/4) = √2.
- Ещё пример: 12 sin 15°·cos 15° = 6·2 sin 15°·cos 15° = 6 sin 30° = 3.
- По sin α и четверти. Допустим, sin α = 3/5 и α лежит в I четверти.
- Тогда cos α > 0, и из основного тождества cos α = 4/5.
- Дальше: sin 2α = 2·(3/5)·(4/5) = 24/25 = 0,96 и cos 2α = 16/25 − 9/25 = 7/25 = 0,28.
- Через тангенс. Пусть tg α = 1/2.
- Тогда tg 2α = 2·(1/2)/(1 − 1/4) = 1/(3/4) = 4/3.
- Через тангенс находятся и остальные функции: cos 2α = (1 − 1/4)/(1 + 1/4) = 3/5 = 0,6, а sin 2α = 1/(5/4) = 4/5 = 0,8.
- В уравнении. Реши sin 2x = sin x.
- Раскрой левую часть и перенеси всё влево: 2 sin x·cos x − sin x = 0.
- Вынеси общий множитель: sin x(2 cos x − 1) = 0.
- Ответ: x = πk или x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
- Не дели уравнение на sin x, иначе потеряешь всю серию x = πk.
Разбор задания
Задание по типу демоверсии профильного ЕГЭ: найдите значение выражения 3 sin(13π/12)·cos(13π/12).
Шаг 1. Коэффициент здесь 3, а не 2. Вынеси половину: 3 sin x·cos x = 1,5·2 sin x·cos x = 1,5 sin 2x.
Шаг 2. Удвой аргумент: 2·(13π/12) = 13π/6. Выражение стало 1,5 sin(13π/6).
Шаг 3. Период синуса равен 2π, отними его: sin(13π/6) = sin(13π/6 − 2π) = sin(π/6) = 1/2.
Шаг 4. Считаем: 1,5·(1/2) = 0,75.
Ответ: 0,75.
Будь коэффициент в условии равен 2, первый шаг бы не понадобился: произведение свернулось бы сразу.
Ошибки, за которые снимают баллы
- sin 2α = 2 sin α. Двойку из аргумента выносить нельзя: синус не линейная функция. Проверяй такие «упрощения» на табличном значении: sin 60° = √3/2, а 2 sin 30° = 1.
- Знак косинуса без учёта четверти. Если sin α = 3/5, но α лежит во II четверти, то cos α = −4/5 и sin 2α = −24/25 = −0,96. Потерял минус — потерял балл.
- Перепутанный порядок в косинусе. Запись cos 2α = sin²α − cos²α даёт противоположный знак. В формуле косинуса двойного угла первым стоит cos²α.
- Формула tg 2α при tg α = ±1. Знаменатель обращается в нуль: при таком α cos 2α = 0, и tg 2α не существует. Синус и косинус двойного угла при этом определены: sin 2α = ±1, cos 2α = 0.
- Формулы через tg α при α = π/2 + πn. Тангенс одинарного угла здесь не определён, поэтому записи через tg α не работают. Считай по формулам через sin α и cos α: sin 2α = 0, cos 2α = −1, tg 2α = 0.
- Деление уравнения на sin x или cos x. Теряются целые серии корней. Выноси общий множитель за скобку.
- Ответ не в том формате. В бланк записывают десятичную дробь: 0,96, а не 24/25.
Шпаргалка
Выпиши эти строки на один лист и держи перед глазами при решении (n ∈ Z):
- sin 2α = 2 sin α·cos α, любое α.
- cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2 sin²α = 2 cos²α − 1, любое α.
- tg 2α определён при α ≠ π/4 + πn/2. Формула tg 2α = 2 tg α/(1 − tg²α) применима при α ≠ π/4 + πn/2 и α ≠ π/2 + πn.
- Понижение степени: sin²α = (1 − cos 2α)/2, cos²α = (1 + cos 2α)/2.
- Через тангенс: sin 2α = 2 tg α/(1 + tg²α), cos 2α = (1 − tg²α)/(1 + tg²α), только при α ≠ π/2 + πn.
Формы, которых нет под рукой, восстанавливай сам: например, форма 1 − 2 sin²α получается из cos²α − sin²α заменой cos²α по основному тождеству.
Проверь себя
Реши сначала на черновике и только потом сверься с ответами.
Найдите значение выражения 6 sin(π/12)·cos(π/12).
3 sin(π/6) = 1,5
Найдите cos 2α, если sin α = 1/2.
1 − 2·(1/4) = 0,5
Найдите tg 2α, если tg α = 3.
6/(1 − 9) = −0,75
Упростите выражение sin 2α/(2 sin α).
cos α при sin α ≠ 0, то есть при α ≠ πk, k ∈ Z: при sin α = 0 исходное выражение не определено
