Чтобы вычислить процент от числа, раздели число на 100 и умножь на число процентов.
- 1 % — сотая часть числа.
- p % от числа a — a : 100 · p, или a · (p/100).
- Пример: 12 % от 45 = 45 : 100 · 12 = 5,4.
- Десятичная дробь — те же 12 % можно записать как 0,12 и сразу умножить: 45 · 0,12 = 5,4.
- Скидка и наценка — для цены со скидкой p % умножай исходную цену на (1 − p/100), с наценкой — на (1 + p/100).
Как это спрашивают на экзамене
Проценты встречаются в текстовых задачах о покупках, вкладах и растворах. Допустим, ты открыл вариант. Формулировки будут примерно такими:
«Держатели дисконтной карты книжного магазина получают при покупке скидку 10 %. Книга стоит 330 рублей. Сколько рублей заплатит держатель дисконтной карты за эту книгу?»
«Четверть всех отдыхающих в пансионате — дети. Какой процент от всех отдыхающих составляют дети?»
«Банк начисляет на срочный вклад 14 % годовых. Вкладчик положил на счёт 9000 рублей. Сколько рублей будет на этом счёте через год, если никаких операций, кроме начисления процентов, со счётом проводиться не будет?»
«Смешали 8 литров 15-процентного раствора вещества с 12 литрами 40-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?»
Встречается и формулировка с округлением:
«На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса… Результат округлите до десятых».
Для ОГЭ и ЕГЭ нужно уметь находить:
- процент от числа;
- число по его проценту;
- процентное отношение двух чисел;
- процентное снижение и повышение величины.
Проценты входят и в задачи о долях и частях, стоимости товаров и услуг, налогах. Формулы из этой статьи лучше помнить, а не искать в справочных материалах.
Что такое процент и как переводить проценты в дроби
Процент — это сотая часть величины или числа. Чтобы найти 1 % величины, её значение делят на 100. 100 % величины — это вся величина целиком.
- Проценты → число: чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, раздели число перед знаком % на 100.
- Число → проценты: обратный перевод — умножь десятичную дробь или натуральное число на 100 и припиши к результату знак %.
- Обыкновенная дробь: сначала переведи её в десятичную.
- Пример: 1/4 = 0,25 = 25 %.
| Проценты | Десятичная дробь | Обыкновенная дробь |
|---|---|---|
| 1 % | 0,01 | 1/100 |
| 5 % | 0,05 | 1/20 |
| 10 % | 0,1 | 1/10 |
| 12,5 % | 0,125 | 1/8 |
| 20 % | 0,2 | 1/5 |
| 25 % | 0,25 | 1/4 |
| 50 % | 0,5 | 1/2 |
| 75 % | 0,75 | 3/4 |
| 100 % | 1 | 1 |
| 120 % | 1,2 | 6/5 |
Запомни ориентиры:
- 100 % — вся величина, а всё, что больше 100 %, больше целого.
- Перевод в обе стороны: 0,14 = 14 %, 0,07 = 7 %, 0,565 = 56,5 %.
- Дробные проценты: 0,5 % = 0,005, а не 0,5.
Три способа найти процент от числа
Все три способа дают один ответ. Выбирай тот, что подходит к числам в задаче.
| Способ | Как считать | Пример: 12 % от 45 | Когда удобен |
|---|---|---|---|
| Через 1 % | a : 100, затем результат · p | 45 : 100 = 0,45; 0,45 · 12 = 5,4 | Устно и для круглых чисел |
| Через десятичную дробь | p % = p/100, затем a · (p/100) | 12 % = 0,12; 45 · 0,12 = 5,4 | В письменных вычислениях |
| Через пропорцию | a — 100 %, x — p %; x = a · p : 100 | 45 — 100 %, x — 12 %; x = 45 · 12 : 100 = 540 : 100 = 5,4 | Когда число процентов неудобно для устного счёта |
Потренируйся на другом числе. Например, найди 30 % от 250.
- Через 1 %: 250 : 100 = 2,5 и 2,5 · 30 = 75.
- Через дробь: 250 · 0,3 = 75.
С круглыми числами первый способ выполняется устно за несколько секунд.
Три типа задач и ловушка «процент от процента»
В заданиях встречаются три ситуации, и твоя задача — сразу определить, какая перед тобой.
- Найти процент от числа. Известно целое, ищем часть: p % от a = a · (p/100). Пример: 20 % от 150 = 150 · 0,2 = 30.
- Найти число по его проценту. Известна часть, ищем целое. Здесь делят, а не умножают: если 30 % числа равны 60, то число равно 60 : 0,3 = 200.
- Найти процентное отношение. Сколько процентов одно число составляет от другого: (a : b) · 100 %. Пример: число 18 от числа 60 составляет 18 : 60 · 100 % = 30 %.
Главная ловушка — «процент от процента». Проценты от разных величин нельзя складывать.
Пример: если цена выросла на 20 %, а потом снизилась на 20 %, к исходной она не вернулась: 1,2 · 0,8 = 0,96, и новая цена на 4 % меньше первоначальной. Вторые 20 % считались уже от повышенной цены.
С вкладами на несколько лет способ расчёта зависит от условия.
- Капитализация: если проценты начисляют на сумму вместе с уже начисленными процентами, вклад считают по годам, каждый раз от новой суммы.
- Простые проценты: если проценты простые, их каждый год берут от первоначального вклада.
Разбор задания
Возьмём, например, задачу о вкладе. Банк начисляет 14 % годовых, вкладчик положил на счёт 9000 рублей. Сколько рублей будет на счёте через год?
- Шаг 1. Найдём 14 % от 9000: 9000 · 0,14 = 1260 рублей банк начислит за год.
- Шаг 2. Прибавим проценты к вкладу: 9000 + 1260 = 10 260 рублей.
Быстрее посчитать одним множителем: 9000 · 1,14 = 10 260.
Ответ: 10 260.
Теперь задача о растворе. Смешали 8 литров 15-процентного раствора с 12 литрами 40-процентного.
Найдём чистое вещество в каждом:
- 8 · 0,15 = 1,2 л;
- 12 · 0,4 = 4,8 л.
Всего вещества 1,2 + 4,8 = 6 л, а объём смеси 8 + 12 = 20 л. Концентрация — это процентное отношение: 6 : 20 · 100 % = 30 %.
Ответ: 30 %. В экзаменационное поле записывают число 30 без знака процента.
Проверь себя: лежит ли ответ между 15 % и 40 %? Если нет, ищи ошибку в вычислениях.
Последний тип — процентное изменение с округлением. Пусть пробег вырос с 240 до 275 км.
Раздели разность на исходное значение и умножь на 100 %:
(275 − 240) : 240 · 100 % = 35 : 240 · 100 % ≈ 14,58 %. До десятых — 14,6 %.
Ответ: 14,6. Делить нужно именно на исходное значение, а не на новое.
Ошибки, за которые снимают баллы
Экзаменуемые чаще всего ошибаются в одних и тех же местах — сверься с этим списком.
- Умножают на число процентов без деления на 100. Например, вместо 45 · 0,12 = 5,4 пишут 45 · 12 = 540. Если при p < 100 ответ получился больше исходного числа, ищи ошибку.
- При нахождении числа по его проценту умножают вместо деления: если 30 % равны 60, целое равно 60 : 0,3 = 200, а не 60 · 0,3 = 18.
- Складывают проценты, взятые от разных величин. Две скидки по 10 % дают не 20 %, а 1 − 0,9 · 0,9 = 0,19, то есть 19 %.
- Неверно переводят дробные проценты: 0,5 % равно 0,005, а не 0,5.
- Останавливаются на промежуточном ответе: в задаче о вкладе записывают 1260 (проценты за год) вместо 10 260 (сумма на счёте). Перечитай вопрос перед записью ответа.
- Округляют не так, как требует условие. Если написано «до десятых», в ответе одна цифра после запятой.
Шпаргалка
- 1 % от a = a : 100.
- p % от a = a · (p/100).
- Число по его проценту: a = часть : (p/100).
- Процентное отношение: (a : b) · 100 %.
- Скидка p %: новая цена = a · (1 − p/100).
- Наценка p %: новая цена = a · (1 + p/100).
- Перевод: p % = p/100; чтобы перевести дробь в проценты, умножь её на 100 и припиши знак %.
Пример: для книги за 330 рублей со скидкой 10 % тебе хватит пятой строки: 330 · (1 − 10/100) = 330 · 0,9 = 297.
Проверь себя
Реши без подсказок, потом сверь ответы.
Найди 15 % от 60.
9
Книга стоит 330 рублей, держатель дисконтной карты получает скидку 10 %. Сколько рублей он заплатит?
297
30 % числа равны 60. Найди это число.
200
Четверть всех отдыхающих в пансионате — дети. Какой это процент от всех отдыхающих?
25 %
Цена выросла на 20 %, а затем снизилась на 20 %. На сколько процентов итоговая цена ниже исходной?
на 4 %
