У диагоналей ромба три свойства:
- Перпендикулярность — диагонали перпендикулярны.
- Деление пополам — точкой пересечения диагонали делятся пополам.
- Биссектрисы — диагонали служат биссектрисами углов ромба, то есть делят каждый угол на две равные части.
- Сторона и диагональ — половины диагоналей вместе со стороной образуют прямоугольный треугольник, и на этом факте держится почти вся тема: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)². Если известны сторона и одна диагональ, вторую ты найдёшь по теореме Пифагора.
- Площадь — S = d₁d₂/2, половина произведения диагоналей. Если известны площадь и одна диагональ, вторая выражается из формулы площади.
Ниже — все случаи с примерами и разбором задачи формата ОГЭ.
Как это спрашивают на экзамене
Формулировки в вариантах повторяются, и тебе полезно узнавать их с первого взгляда.
«Сторона ромба равна 10, а одна из диагоналей равна 12. Найдите вторую диагональ ромба».
«Диагонали ромба равны 14 и 48. Найдите площадь ромба».
«Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите сторону ромба».
«Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали ромба равны. 2) Диагонали ромба перпендикулярны. 3) Диагонали ромба делят его углы пополам».
Если в условии есть ромб и достаточный набор независимых данных, задача сводится к одному прямоугольному треугольнику. Достаточные наборы:
- сторона и диагональ;
- две диагонали;
- диагональ и площадь;
- сторона и угол.
Сторона и периметр вместе новой информации не дают: периметр лишь повторяет сторону, ведь P = 4a.
Первая формулировка решается в две строки через теорему Пифагора, и этот приём мы применим в разборе.
Свойства диагоналей ромба
Договоримся о терминах, иначе в обозначениях ты запутаешься уже на второй формуле.
- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины.
- Обозначения: у ромба две диагонали, обозначим их d₁ и d₂.
| Свойство | Почему выполняется | Где применяется |
|---|---|---|
| Диагонали перпендикулярны | В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а отрезок BO (половина диагонали BD) — медиана к основанию AC. Медиана к основанию равнобедренного треугольника служит и высотой, поэтому BD ⟂ AC | Теорема Пифагора для стороны и половин диагоналей, формула площади |
| Точка пересечения делит каждую диагональ пополам | Ромб — параллелограмм, а диагонали любого параллелограмма точкой пересечения делятся пополам | Переход от диагонали к катету прямоугольного треугольника: катет равен d/2 |
| Диагонали служат биссектрисами углов ромба | Тот же отрезок BO — медиана к основанию AC, а значит, и биссектриса угла B; вторая половина диагонали делит пополам угол D | Задачи с углами: угол между стороной и диагональю равен половине угла ромба |
Ловушка: здесь тебя ждёт ловушка — равными диагонали быть не обязаны, в отличие от диагоналей прямоугольника.
Пример: у ромба со стороной 5 они могут равняться 6 и 8, и ни одно свойство при этом не нарушено.
Как найти диагональ: четыре случая
Все способы опираются на прямоугольный треугольник с катетами d₁/2 и d₂/2 и гипотенузой a, где a — сторона ромба.
Отсюда базовое соотношение: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)².
Через сторону и вторую диагональ
Из базового соотношения выражаем нужный отрезок:
d₂ = 2√(a² − d₁²/4).
Пример: допустим, a = 5, d₁ = 6. Тогда d₂ = 2√(25 − 9) = 2√16 = 8.
Условие: формула работает при d₁ < 2a. Диагональ короче удвоенной стороны, иначе треугольника со сторонами a, a и d₁ не существует.
Через сторону и угол
Пусть известны сторона a и угол α = ∠A. Тогда диагональ AC выходит из вершины A, а BD лежит против этого угла:
AC = 2a·cos(α/2), BD = 2a·sin(α/2).
Какая из них окажется больше, зависит от того, острый угол ты взял или тупой.
Пример: при a = 10 и α = ∠A = 60° получаем BD = 2·10·sin 30° = 10 и AC = 2·10·cos 30° = 10√3 ≈ 17,3.
Вывод: диагональ из вершины острого угла длиннее.
Через площадь и вторую диагональ
Из формулы S = d₁d₂/2 выражаем: d₂ = 2S/d₁.
Пример: если S = 24, а d₁ = 6, то d₂ = 2·24/6 = 8.
Через периметр
Периметр ромба P — сумма всех четырёх равных сторон, отсюда a = P/4.
Одного периметра мало: он даёт только сторону, поэтому в условии обязательно найдётся вторая независимая величина.
- Есть вторая диагональ — применяй теорему Пифагора.
- Есть угол — формулы с синусом и косинусом.
Пример: при P = 52 сторона равна 13, и задача сводится к первому случаю.
Почти любая школьная задача на диагональ ромба укладывается в одну из этих схем.
Площадь ромба через диагонали
Формула: S = d₁d₂/2.
Откуда она берётся? Из тех же четырёх треугольников.
Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, значит, ромб распадается на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2. Площадь одного такого треугольника — половина произведения катетов:
(d₁/2 × d₂/2) / 2 = d₁d₂/8.
Складываем четыре площади: 4 × d₁d₂/8 = d₁d₂/2.
Пример для проверки: если d₁ = 6 и d₂ = 8, то S = 6·8/2 = 24.
Эта же формула верна для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, например для квадрата. А для прямоугольника она не годится: его диагонали не перпендикулярны.
Разбор задания
Условие. Сторона ромба равна 13, одна из диагоналей равна 10. Найдите вторую диагональ и площадь ромба.
Решение по шагам.
- Точка пересечения делит диагональ пополам, поэтому половина данной диагонали равна 10/2 = 5.
- Половины диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой 13. По теореме Пифагора: 13² = 5² + (d₂/2)².
- Отсюда (d₂/2)² = 169 − 25 = 144, значит d₂/2 = 12 и d₂ = 24.
- Площадь: S = 10 × 24 / 2 = 120.
Ответ: 24; 120.
Проверить себя можно в две строки:
- Теорема Пифагора: подставь половины: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², сходится.
- Площадь: она считается и как сумма площадей четырёх прямоугольных треугольников с катетами 5 и 12: 4 × (5·12/2) = 4 × 30 = 120.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Половину диагонали принимают за целую. В прямоугольном треугольнике катеты — это d₁/2 и d₂/2. Нашёл катет 12 — в ответ идёт 24. Удвой результат.
- Путают ромб и квадрат. У квадрата диагонали равны, у произвольного ромба нет, поэтому в задании на выбор верных утверждений строка «диагонали ромба равны» неверная.
- Забывают разделить произведение на 2 и получают удвоенную площадь. Проверяй на простых числах: 6 и 8 дают площадь 24, а не 48.
- Переносят на ромб свойства прямоугольника. У прямоугольника диагонали равны, но не перпендикулярны и углы пополам не делят — у ромба наоборот. Общее у них одно: точка пересечения делит их пополам, оба ведь параллелограммы.
- Подставляют в тригонометрические формулы целый угол вместо половины. В формулах AC = 2a·cos(α/2) и BD = 2a·sin(α/2) стоит именно α/2, ведь диагональ делит угол ромба пополам.
Шпаргалка
Если формулы забылись, смотри сюда.
- Диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
- Каждая из них — биссектриса углов ромба.
- a² = (d₁/2)² + (d₂/2)².
- a = ½√(d₁² + d₂²).
- d₂ = 2√(a² − d₁²/4).
- S = d₁d₂/2, отсюда d₂ = 2S/d₁.
- a = P/4.
- AC = 2a·cos(α/2), BD = 2a·sin(α/2), где α = ∠A — выбранный угол ромба ABCD.
Проверь себя
Диагонали ромба равны 10 и 24. Найди сторону ромба.
13: сторона = √(5² + 12²).
Сторона ромба равна 5, одна из диагоналей равна 6. Найди вторую диагональ и площадь.
вторая диагональ 8, площадь 6·8/2 = 24.
Верно ли утверждение: «Диагонали любого ромба равны»?
неверно: равные диагонали только у квадрата — частного случая ромба.
Диагонали ромба 6 и 8. Чему равен периметр?
20: сторона √(3² + 4²) = 5, периметр 4·5.
