Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, возведи сторону в квадрат, умножь на √3 и раздели на 4.
- Формула — S = a²√3/4, где a — сторона.
- Пример — при a = 6 получаем S = 36·√3/4 = 9√3.
- Справочные материалы — формулы для правильного треугольника могут встретиться в справочных материалах к экзамену, но точный состав сверяй с актуальной версией материалов ФИПИ.
- Наизусть — на экзамене время ограничено, поэтому формулу лучше помнить наизусть.
- Дальше — ниже ты увидишь, откуда она берётся, как применяется в задачах и где в ней чаще всего ошибаются.
Как это спрашивают на экзамене
Задачи на эту тему обычно сформулированы по нескольким типовым схемам. Если ты узнаёшь схему, план решения ясен сразу.
«Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь».
«Высота равностороннего треугольника равна 6. Найдите его площадь».
«Площадь равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его сторону».
«Найдите площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной или описанной окружности».
В основе всех четырёх задач лежит формула S = a²√3/4. Что делать, зависит от того, что дано:
- Дана сторона — в формулу подставляют число сразу.
- Дана площадь — из неё находят сторону.
- Дана высота или радиус — сначала выражают через них сторону или берут готовую формулу из таблицы ниже.
Откуда формула: два вывода
Прежде чем считать, полезно понять, откуда формула берётся. Тогда ты восстановишь её, даже если забудешь.
Через высоту — основной вывод
Этот вывод доступен уже в 8 классе: он опирается на формулу площади треугольника через основание и высоту и на теорему Пифагора.
Проведи высоту к основанию. Она делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой a и катетом a/2.
Теорема Пифагора: h² = a² − a²/4 = 3a²/4, откуда h = a√3/2.
Свойства высоты и её связь с радиусами подробно разобраны в статье «Высота равностороннего треугольника».
Подставим высоту в формулу площади через основание и высоту:
S = ½·a·h = ½·a·(a√3/2) = a²√3/4.
Через синус 60° — факт 9 класса
В 9 классе появится формула площади через две стороны и угол между ними. У равностороннего треугольника обе стороны равны a, угол между ними 60°, а sin 60° = √3/2:
S = ½·a·a·sin 60° = ½·a²·(√3/2) = a²√3/4.
Пример: сторона равностороннего треугольника равна 5 см. Тогда S = 25√3/4 см² (≈ 10,83 см²).
Если нужен точный ответ, оставь его в виде 25√3/4 и не заменяй корень приближённым значением.
Что дано — как найти: таблица
В задачах дают не только сторону, и твоя задача — выбрать формулу под условие. Все примеры ниже посчитаны для одного треугольника: a = 4√3, h = 6, r = 2, R = 4.
| Дано | Формула | Пример | Ответ |
|---|---|---|---|
| Сторона a | S = a²√3/4 | a = 4√3 | S = 12√3 |
| Высота h | S = h²/√3 = h²√3/3 | h = 6 | S = 12√3 |
| Периметр P | S = (P/3)²√3/4 | P = 12√3 | S = 12√3 |
| Радиус описанной окружности R | S = 3√3R²/4 | R = 4 | S = 12√3 |
| Радиус вписанной окружности r | S = 3√3r² | r = 2 | S = 12√3 |
Во всех пяти строках ответ один — 12√3, потому что треугольник один.
Если дана высота, сторону искать не обязательно: формула S = h²/√3 даёт площадь сразу.
Связь с высотой и радиусами
У правильного треугольника:
- все стороны равны;
- все углы по 60°;
- высоты, медианы и биссектрисы совпадают;
- центры вписанной и описанной окружностей лежат в одной точке.
Из этой симметрии получаются связи:
- h = a√3/2;
- r = a√3/6 = h/3;
- R = a√3/3 = 2h/3;
- R = 2r.
Пример: при a = 4√3 высота равна 4√3·√3/2 = 6, как в таблице выше. Если известна площадь, сторону находят из равенства a² = 4S/√3.
Если забудешь формулу на экзамене, проверь справочные материалы: формулы площади через основание и высоту и через две стороны и угол помогут её вывести. Какие именно формулы туда входят, уточняй по актуальной версии материалов ФИПИ.
Разбор задания
Условие: «Площадь равностороннего треугольника равна 9√3. Найдите его сторону».
- Подставь площадь в формулу: a²√3/4 = 9√3.
- Умножь обе части на 4 и раздели на √3: a² = 36.
- Извлеки корень: a = 6. Сторона — это длина, отрицательное значение не подходит.
Проверка: подставь ответ обратно: 36·√3/4 = 9√3, сошлось.
В любой обратной задаче найденную величину подставляй в исходную формулу и сравнивай результат с условием.
Ответ: 6.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Теряют квадрат стороны. Вместо a²√3/4 записывают a√3/4. При a = 6 получается 1,5√3 ≈ 2,60 — это h/2, а не площадь.
- Делят не на то число. Вместо a²√3/4 записывают a²√3/2.
- При a = 6 выходит 18√3 ≈ 31,18 вместо верных 9√3 ≈ 15,59.
- Выражение a²√3/2 равно произведению a·h: это площадь ромба из двух таких треугольников, вдвое больше нужной.
- Путают высоту и площадь. Высота h = a√3/2 растёт линейно со стороной, а площадь S = a²√3/4 — квадратично. Если сторону увеличить вдвое, высота вырастет вдвое, а площадь вчетверо.
- Путают R и r. У правильного треугольника R = 2r, а формулы площади различаются:
- S = 3√3R²/4 для описанной окружности;
- S = 3√3r² для вписанной.
Если подставишь радиус не в ту формулу, результат разойдётся с верным в четыре раза.
- Подставляют не ту величину. В условии дана высота или периметр, а в формулу для стороны идёт это число без пересчёта. Прочитай условие дважды и подпиши, что обозначает каждая буква.
- Не проверяют размерность. Сторона, высота и радиус измеряются в линейных единицах (см), площадь — в квадратных (см²). Если в ответе для площади сторона стоит в первой степени, значит, потерян квадрат.
Правило «2–3–4» помогает запомнить формулу: сторона в степени 2, умножить на √3, разделить на 4.
Когда нужен точный ответ, корень приближённо не извлекай: 9√3, 12√3, 25√3 — уже готовые ответы, приближение уместно только в скобках.
Шпаргалка
- S = a²√3/4.
- h = a√3/2.
- r = a√3/6.
- R = a√3/3.
- S = h²/√3.
Проверь себя
Реши без подсказок, ответы строкой ниже.
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Найдите его площадь.
25√3
Высота равностороннего треугольника равна 6. Найдите его площадь.
12√3
Площадь равностороннего треугольника равна 25√3. Найдите его сторону.
10
Радиус вписанной окружности правильного треугольника равен 2. Найдите площадь треугольника.
12√3
