При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется восемь углов, их связывают три правила:
- Накрест лежащие углы равны.
- Соответственные углы равны.
- Односторонние углы: сумма равна 180°.
- Общий результат — если один из восьми углов равен α, то ещё три угла равны α, а остальные четыре равны 180° − α. При α = 90° все восемь углов равны 90°.
- Один угол — по одному известному углу ты восстанавливаешь остальные семь без дополнительных данных — через свойства пар углов, вертикальные и смежные углы.
Как это спрашивают на экзамене
Формулировки в вариантах однотипные, меняются только числа и чертежи.
«Прямые a и b параллельны. Найдите угол 3, если угол 1 равен 114°. Ответ дайте в градусах».
«В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны. Угол BAD равен 68°. Найдите угол ABC».
«Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2) Сумма односторонних углов всегда равна 90°…»
- Первый тип — прямое применение свойства по чертежу.
- Второй тип — те же углы спрятаны внутри треугольника или трапеции: параллельные стороны фигуры работают как параллельные прямые, а боковая сторона — как секущая.
- Третий тип — проверяет знание точных формулировок, и здесь легко перепутать свойство с признаком.
Какие углы образуются: таблица
Секущая — это прямая, которая пересекает две данные прямые в двух разных точках. При пересечении образуется восемь углов: четыре при одной прямой и четыре при другой. Они дают три типа пар, причём пар каждого типа — по две.
Различай пары по двум приметам:
- по какую сторону от секущей лежит угол;
- попадает ли он в полосу между прямыми.
Три типа пар:
- Накрест лежащие — лежат между прямыми по разные стороны от секущей.
- Соответственные — лежат по одну сторону от секущей и в одинаковом положении при двух точках пересечения: один из них внутренний, другой внешний.
- Односторонние — лежат между прямыми по одну сторону от секущей.
| Пара углов | Где лежат | Свойство | Пример |
|---|---|---|---|
| Накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны от секущей | Равны | один угол 50° → второй 50° |
| Соответственные | По одну сторону от секущей, один между прямыми, другой вне | Равны | один угол 50° → второй 50° |
| Односторонние | Между прямыми, по одну сторону от секущей | В сумме 180° | один угол 50° → второй 130° |
Пример: допустим, дан угол 50°.
- Накрест лежащий с ним тоже 50°.
- Соответственный — 50°.
- Односторонний уже 130°.
Главное: равенство работает только при параллельных прямых. Если секущая пересекает две непараллельные прямые, восемь углов тоже образуются и названия пар сохраняются, но равенств между ними нет.
Свойства и признаки параллельности
Признаки — это утверждения, обратные соответствующим свойствам.
- Свойство: параллельность дана в условии, и из неё ты получаешь равенство углов или сумму 180°.
- Признак: тебе известны углы, и по ним ты доказываешь, что прямые параллельны.
Три признака параллельности прямых формулируются так:
- Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
- Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
В задании на выбор верных утверждений проверяют именно направление рассуждения. Например:
- Свойство: «накрест лежащие углы при параллельных прямых равны».
- Признак: «если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны».
Обе верны, но это разные теоремы: первая помогает находить углы, вторая доказывает параллельность.
Как искать углы на чертеже: алгоритм
Сначала разберись, какие элементы чертежа за что отвечают, и только потом считай.
- Найди параллельные прямые. В условии они помечены как a ∥ b либо это параллельные стороны фигуры: основания трапеции, противоположные стороны параллелограмма.
- Найди секущую — прямую, пересекающую обе параллельные.
- Назови пару, которую образуют данный и искомый углы: накрест лежащие, соответственные или односторонние.
- Примени свойство пары: перенеси значение угла либо вычти его из 180°.
Часто данный и искомый углы пару напрямую не образуют. Тогда подключай вспомогательные свойства:
- Вертикальные углы — углы, стороны одного из которых служат продолжениями сторон другого; вертикальные углы равны.
- Смежные углы — два угла с общей стороной, две другие стороны которых составляют прямую; сумма смежных углов равна 180°.
Через них ты переходишь от данного угла к тому, который уже образует нужную пару с искомым.
Разбор задания
Дано:
- прямые a и b параллельны, c — секущая;
- угол 1, образованный прямой a и секущей, равен 114°.
Найдите: угол 3, вертикальный углу 2, где углы 1 и 2 — односторонние. Ответ дайте в градусах.
Решение по шагам.
- Прямые a и b параллельны — это дано, свойства пар углов применимы.
- Углы 1 и 2 односторонние, их сумма равна 180°. Отсюда ∠2 = 180° − 114° = 66°.
- Угол 3 вертикален углу 2, а вертикальные углы равны. Получаем ∠3 = 66°.
Ответ: 66.
Проверь себя по чертежу.
- Угол 1 тупой, угол 3 на рисунке острый — и 66° действительно острый.
- Заодно сложи: 114° + 66° = 180°, сумма односторонних сходится.
- А если у тебя вышел тупой угол там, где на чертеже явно острый, пересчитывай.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Односторонние углы считают равными. Самая частая путаница: все три типа пар сваливаются в одно правило «углы равны».
- Запомни отдельно: односторонние углы не равны, их сумма составляет 180°.
- Равны они в частном случае, когда секущая перпендикулярна прямым и все восемь углов по 90°.
- Применяют свойства, хотя параллельность не обоснована. Параллельность должна следовать из:
- условия;
- обозначений на чертеже;
- свойств фигуры;
- ранее выполненного доказательства.
По внешнему виду чертежа судить нельзя: прямые могут выглядеть параллельными и не быть такими.
- Путают накрест лежащие углы с вертикальными.
- Вертикальные возникают при пересечении двух прямых в одной точке.
- Накрест лежащие — при двух точках пересечения секущей с разными прямыми.
- Проверь по чертежу: общая вершина у углов — они вертикальные или смежные; вершины разные — это пара при секущей.
- Путают свойство и признак в задании на верные утверждения. Читай формулировку дословно и следи, что из чего следует.
- Не переводят чертёж фигуры в схему «две прямые и секущая». В трапеции или треугольнике со средней линией знакомая конструкция не видна, и свойства остаются неприменёнными.
- Пример: в трапеции основания — это параллельные прямые, боковая сторона — секущая, а углы при этой стороне — односторонние.
Шпаргалка
| Пара углов | Расположение | Свойство |
|---|---|---|
| Накрест лежащие | Между прямыми, по разные стороны от секущей | Равны |
| Соответственные | По одну сторону от секущей, в одинаковом положении при двух точках пересечения; один угол внутренний, другой внешний | Равны |
| Односторонние | Между прямыми, по одну сторону от секущей | Сумма 180° |
| Вертикальные (вспомогательные) | Общая вершина, стороны — продолжения друг друга | Равны |
| Смежные (вспомогательные) | Общая сторона, другие стороны образуют прямую | Сумма 180° |
Общий результат для быстрой проверки: если один угол равен α, то
- четыре угла равны α;
- четыре — 180° − α;
- при α = 90° все восемь углов равны 90°.
Проверь себя
Перед экзаменом повтори таблицу из шпаргалки и разницу между свойством и признаком. На этих двух вещах держатся задачи темы.
Прямые параллельны, один из односторонних углов равен 52°. Чему равен второй?
128°.
Прямые параллельны, один из накрест лежащих углов равен 73°. Чему равен второй?
73°.
При пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны 40° и 40°. Параллельны ли прямые?
да, по признаку параллельности (соответственные углы равны).
Один из восьми углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равен 90°. Чему равны остальные семь?
все по 90°.
