Цикл Карно — идеальный круговой процесс из четырёх стадий.
- Расширение — сначала газ изотермически расширяется при температуре нагревателя T₁, потом расширяется адиабатически и охлаждается до T₂.
- Сжатие — затем идёт изотермическое сжатие при T₂ и адиабатическое сжатие, при котором газ нагревается обратно до T₁.
- Модель — в школьной модели рабочее тело — идеальный газ, все процессы обратимы.
- КПД — КПД цикла Карно η = 1 − T₂/T₁. Это максимально возможный КПД тепловой машины с заданными температурами нагревателя и холодильника.
- Кельвины — температуры подставляют только в Кельвинах. Если в условии даны градусы Цельсия, сначала переведи их по формуле T = t + 273.
Как это спрашивают на экзамене
Тема встречается в расчётных задачах и в качественных, где физику нужно объяснить словами. Типичные формулировки:
«Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя T₁, температура холодильника T₂. Найдите КПД машины».
«По температурам нагревателя и холодильника найдите КПД идеальной тепловой машины».
«По известному КПД и температуре нагревателя определите температуру холодильника».
«Объясните, почему реальная тепловая машина не может иметь КПД выше карновского».
Главное: если в условии есть слова «идеальная тепловая машина» и две температуры, тебе понадобится формула η = 1 − T₂/T₁ — прямо или в преобразованном виде.
Что такое цикл Карно: определение и история
Цикл Карно — идеальный круговой процесс из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре, адиабатный — без теплообмена с окружающей средой.
Этот теоретический цикл предложил французский инженер Сади Карно (Sadi Carnot) в 1824 году в работе «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу».
Вопрос у Карно был практический: какую наибольшую работу можно получить от тепловой машины?
В школьной модели рабочим телом служит идеальный газ, хотя сам цикл и теорема Карно от выбора рабочего тела не зависят. Газ обменивается теплотой с двумя тепловыми резервуарами:
- Нагреватель — источник тепла с температурой T₁.
- Холодильник — теплоприёмник с температурой T₂, причём T₁ > T₂.
Роли резервуаров легче запомнить на реальной машине.
Пример: в паровой машине нагреватель — топка котла, а холодильник — окружающий воздух.
Главная особенность цикла — обратимость. Если провести его в обратном направлении, и газ, и окружающие тела вернутся в исходные состояния, не оставив никаких изменений в природе.
Закон сохранения энергии здесь ни при чём: он выполняется и для необратимых процессов.
Реальные процессы необратимы из-за трения и теплообмена при конечной разности температур. Отсюда вывод для качественных вопросов: КПД реальных машин ниже карновского.
Четыре стадии цикла: таблица и диаграмма p-V
Проследи за газом по всем четырём стадиям. Пусть газ стартует из состояния 1 с температурой T₁.
- Изотермическое расширение при T₁. Газ получает от нагревателя количество теплоты Q₁, расширяется и совершает работу.
- Адиабатическое расширение. Теплообмена нет, Q = 0. Газ совершает работу за счёт внутренней энергии, температура падает от T₁ до T₂.
- Изотермическое сжатие при T₂. Внешние силы совершают работу над газом, газ отдаёт холодильнику количество теплоты Q₂.
- Адиабатическое сжатие: Q = 0, температура растёт от T₂ до T₁. Газ возвращается в исходное состояние, цикл замыкается.
| Стадия | Тип процесса | Теплота | Работа |
|---|---|---|---|
| 1→2 | Изотермическое расширение, T = T₁ | Газ получает Q₁ | Газ совершает работу |
| 2→3 | Адиабатическое расширение | Q = 0 | Газ совершает работу |
| 3→4 | Изотермическое сжатие, T = T₂ | Газ отдаёт Q₂ | Работа совершается над газом |
| 4→1 | Адиабатическое сжатие | Q = 0 | Работа совершается над газом |
Параметры газа меняются так:
| Стадия | Давление p | Объём V | Температура T |
|---|---|---|---|
| 1→2 | падает | растёт | T₁ = const |
| 2→3 | падает | растёт | падает до T₂ |
| 3→4 | растёт | падает | T₂ = const |
| 4→1 | растёт | падает | растёт до T₁ |
На диаграмме p-V цикл выглядит как замкнутая кривая из четырёх участков.
- Изотермы — гиперболы pV = const.
- Адиабаты идут круче, их уравнение pV^γ = const, где γ = C_p/C_V — показатель адиабаты.
- Площадь, ограниченная контуром, равна полезной работе газа за цикл.
- Обход по часовой стрелке соответствует тепловой машине.
- Если пройти кривую против часовой стрелки, получится обратный цикл — холодильная машина.
Формула КПД и почему температуры в Кельвинах
КПД тепловой машины по определению:
η = A/Q₁,
где:
- η — КПД, безразмерная величина;
- A — полезная работа за цикл, Дж;
- Q₁ — количество теплоты, полученное от нагревателя, Дж.
По закону сохранения энергии A = Q₁ − Q₂, где Q₂ — количество теплоты, отданное холодильнику, Дж. Отсюда:
η = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁.
Для цикла Карно выполняется соотношение Q₁/T₁ = Q₂/T₂, где T₁ и T₂ — абсолютные температуры нагревателя и холодильника, К.
Для идеального газа его можно получить из стадий цикла:
- На изотерме внутренняя энергия не меняется, и вся теплота идёт на работу: Q₁ = νRT₁·ln(V₂/V₁), Q₂ = νRT₂·ln(V₃/V₄).
- Из уравнений двух адиабат (TV^(γ−1) = const) следует V₂/V₁ = V₃/V₄.
- Логарифмы сокращаются, и остаётся Q₁/T₁ = Q₂/T₂.
Подставляем это соотношение и получаем главную формулу темы:
η = 1 − T₂/T₁ = (T₁ − T₂)/T₁.
Температуры здесь подставляют только в Кельвинах: соотношение Q₁/T₁ = Q₂/T₂ верно лишь для абсолютной термодинамической шкалы.
Перевод: T(К) = t(°C) + 273,15, в школьных задачах округляют до 273.
Пример: при T₁ = 400 К и T₂ = 300 К КПД равен η = 1 − 300/400 = 0,25, или 25 %.
Если подставить те же температуры в Цельсиях (127 °C и 27 °C), выйдет 1 − 27/127 ≈ 0,79 — больше правильного ответа в три с лишним раза.
КПД цикла Карно зависит только от двух температур, а не от устройства машины.
Теорема Карно: почему это максимальный КПД
Теорема Карно утверждает: КПД любой тепловой машины с нагревателем температуры T₁ и холодильником температуры T₂ не превышает КПД цикла Карно с теми же температурами. Все обратимые машины, работающие между этими резервуарами, имеют одинаковый, карновский КПД.
Предел задаёт второе начало термодинамики: в циклическом процессе нельзя полностью превратить полученную теплоту в работу, часть теплоты Q₂ обязательно уходит холодильнику.
Даже обратимая машина отдаёт минимум Q₂ = Q₁·T₂/T₁. В реальной машине добавляются трение и теплообмен при конечной разности температур, и КПД снижается ещё сильнее.
Запомни два следствия для качественных вопросов:
- Первое: КПД тепловой машины не может равняться единице. Для этого нужен холодильник с T₂ = 0 К, а абсолютный нуль недостижим.
- Второе: если в задаче заявлен КПД выше карновского для тех же температур, такая машина невозможна.
Пример: при 400 К и 300 К машина с КПД 30 % существовать не может: предел здесь 25 %.
Разбор задания
Условие. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя 227 °C, температура холодильника 27 °C. За один цикл машина получает от нагревателя 600 Дж теплоты. Найди КПД машины и полезную работу за цикл.
Шаг 1. Переведи температуры в Кельвины: T₁ = 227 + 273 = 500 К, T₂ = 27 + 273 = 300 К.
Шаг 2. Найди КПД: η = 1 − T₂/T₁ = 1 − 300/500 = 0,4, или 40 %.
Шаг 3. Вырази работу из определения КПД: A = ηQ₁ = 0,4 · 600 = 240 Дж.
Ответ: η = 0,4; A = 240 Дж.
Проверка. Холодильнику уходит Q₂ = Q₁(1 − η) = 600 · 0,6 = 360 Дж, и Q₁ − Q₂ = 240 Дж — совпадает с найденной работой.
Убедись, что:
- температуры подставлены в Кельвинах;
- T₁ > T₂;
- КПД попал в диапазон 0 ≤ η < 1.
С Цельсиями вышло бы 1 − 27/227 ≈ 0,88: число формально в диапазоне, но ответ неверный, поэтому шкалу температур проверяй первой.
В обратных задачах ту же формулу преобразуют:
- температура холодильника: T₂ = T₁(1 − η);
- температура нагревателя: T₁ = T₂/(1 − η);
- теплота, отданная холодильнику: Q₂ = Q₁(1 − η);
- полезная работа: A = ηQ₁.
Ошибки, за которые снимают баллы
Сверь свои решения с этим списком типичных ошибок по теме.
- Температуры в градусах Цельсия. В формулу η = 1 − T₂/T₁ подставляют только Кельвины.
- Перепутаны T₁ и T₂. В числителе дроби T₂/T₁ стоит меньшая температура. Получился отрицательный КПД — значит, температуры стоят не на своих местах.
- Формулу η = 1 − T₂/T₁ применили к реальной машине. Она даёт лишь верхнюю границу, а КПД реальной машины считают через η = A/Q₁.
- Потеряна теплота Q₂. Работа за цикл равна не Q₁, а разности Q₁ − Q₂: часть теплоты обязательно отдаётся холодильнику.
- Путаница долей и процентов. Если η = 40 %, в формулы подставляют долю 0,4, а не число 40.
Шпаргалка
Перед экзаменом повтори этот минимум.
- Стадии: изотермическое расширение (T₁, газ получает Q₁) → адиабатическое расширение (Q = 0, охлаждение до T₂) → изотермическое сжатие (T₂, газ отдаёт Q₂) → адиабатическое сжатие (Q = 0, нагрев до T₁).
- КПД: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − T₂/T₁ = (T₁ − T₂)/T₁.
- Соотношение: Q₁/T₁ = Q₂/T₂ — для цикла Карно.
- Обратные задачи: T₂ = T₁(1 − η), T₁ = T₂/(1 − η), Q₂ = Q₁(1 − η), A = ηQ₁.
- Кельвины: температуры только в Кельвинах, T = t + 273.
- Верхняя граница: карновский КПД — верхняя граница для всех машин с теми же T₁ и T₂.
- Диаграмма p-V: площадь внутри цикла равна работе; обход по часовой стрелке — тепловая машина, против — холодильная.
Проверь себя
Ответь на вопросы без подсказок, а потом сверься с ответами ниже.
Из каких процессов состоит цикл Карно?
два изотермических и два адиабатных процесса
T₁ = 600 К, T₂ = 300 К. Чему равен КПД идеальной машины?
η = 1 − 300/600 = 0,5
КПД машины Карно равен 60 %, температура нагревателя 500 К. Найди температуру холодильника.
T₂ = T₁(1 − η) = 500 · 0,4 = 200 К
Почему в формулу КПД нельзя подставлять градусы Цельсия?
соотношение Q₁/T₁ = Q₂/T₂ верно только для абсолютной шкалы
Может ли реальная машина с теми же температурами резервуаров иметь КПД выше карновского?
нет, это запрещает теорема Карно
Все пять ответов совпали — тема закрыта. Если нет, вернись к стадиям цикла и выводу формулы КПД: остальное строится на них.
