Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы: m꜀ = c/2. Например, если катеты равны 6 и 8, то гипотенуза равна 10, а медиана к ней равна 5. Если гипотенуза известна, других вычислений не нужно: раздели её пополам.
Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника, проведённая к стороне, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, прямой. Свойство помогает не только находить длины, но и доказывать, что треугольник прямоугольный.
Как это спрашивают на экзамене
Постарайся узнавать типовые формулировки с первого взгляда. Вот основные.
В прямоугольном треугольнике известна гипотенуза. Найдите медиану, проведённую к ней.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна m, один из катетов равен a. Найдите второй катет.
В прямоугольном треугольнике острый угол равен α. Найдите угол между медианой, проведённой к гипотенузе, и катетом.
Известны медиана и высота, проведённые к гипотенузе. Найдите площадь треугольника.
Для второй и четвёртой формулировок есть короткие алгоритмы:
- даны медиана m и катет a: гипотенуза c = 2m, второй катет b = √(c² − a²) = √(4m² − a²);
- даны медиана m и высота h к гипотенузе: c = 2m, площадь S = ch/2 = 2m · h/2 = mh.
Если в условии есть слова «середина гипотенузы», это тоже сигнал: скорее всего, задача решается через это свойство.
Свойство: как оно в учебнике
В школьном курсе формулировка такая: медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Тему проходят в 8 классе. В учебнике Атанасяна Л. С. и др. «Геометрия 7–9» она входит в главу V «Четырёхугольники», §3 «Прямоугольник, ромб, квадрат». У Мерзляка А. Г., Полонского В. Б., Якира М. С. в «Геометрии 8» это глава 1 «Четырёхугольники», §4 «Прямоугольник», и доказательство опирается на теорему 4.1 «Диагонали прямоугольника равны». В углублённом учебнике Мерзляка–Полякова для 8 класса свойство относится к §5 «Прямоугольник. Ромб. Квадрат».
Обозначения на схеме:
- в треугольнике ABC угол C прямой;
- AB = c — гипотенуза, точка M делит её пополам;
- CM = m꜀ — медиана, проведённая к гипотенузе;
- AM = BM = CM.
Обрати внимание: получаются три равных отрезка. В большинстве задач работает именно это равенство, а не одна формула m꜀ = c/2.
Два доказательства
Через прямоугольник
Это основное доказательство, оно доступно сразу после темы «Прямоугольник».
- Продлим медиану CM за точку M на отрезок MK, равный CM.
- Треугольники BKM и ACM равны по двум сторонам и углу между ними: AM = BM, CM = KM, углы при точке M вертикальные.
- Диагонали AB и CK четырёхугольника AKBC точкой пересечения делятся пополам, значит, AKBC — параллелограмм. У него есть прямой угол C, а параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.
- Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, отсюда CM = AM = BM = ½AB.
В других обозначениях ход тот же. Пусть BO — медиана к гипотенузе AC, точка D симметрична B относительно O. ABCD — параллелограмм, потому что его диагонали делятся пополам, а параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Раз AC = BD, то OB = ½AC.
Через описанную окружность
Второе доказательство короче, но требует темы вписанных углов. Так как ∠ACB = 90°, точка C лежит на окружности с диаметром AB: это теорема, обратная теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр. Центр такой окружности — середина M гипотенузы, а MA, MB и MC — её радиусы. Отсюда MA = MB = MC = R = c/2.
Если в задаче дана описанная окружность прямоугольного треугольника, вспоминай связку: диаметр — гипотенуза, радиус — медиана.
Что ещё даёт медиана: углы и обратная теорема
Пусть в треугольнике ABC угол C равен 90°, CM — медиана. Так как AM = CM = BM, треугольники ACM и BCM равнобедренные. Отсюда ∠ACM = ∠A и ∠BCM = ∠B, а угол между медианой и гипотенузой ∠AMC = 180° − 2∠A.
Допустим, ∠A = 25°. Тогда все углы восстанавливаются по цепочке:
| Угол | Значение |
|---|---|
| ∠B | 65° |
| ∠ACM | 25° |
| ∠BCM | 65° |
| ∠AMC | 130° |
Угол BMC смежный с углом AMC, он равен 50°.
Теперь обратная теорема в строгой формулировке: если медиана треугольника, проведённая к стороне, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, прямой. Её применяют, когда нужно доказать прямой угол.
Посмотрим на два примера. В треугольнике со сторонами 6, 8, 10 по условию медиана к стороне 10 равна 5 = 10/2. По обратной теореме угол против стороны 10 прямой, и теорема Пифагора это подтверждает: 36 + 64 = 100.
У треугольника со сторонами 5, 5, 6 медиана к стороне 6 совпадает с высотой и равна √(25 − 9) = 4, а не 3. Угол против этой стороны не прямой, проверка: 25 + 25 ≠ 36.
Разбор задания
В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 34, BC = 16. Найдите CM.
Решение по шагам.
- Так как ∠C = 90°, сторона AB — гипотенуза.
- M делит AB пополам, значит, CM — медиана, проведённая к гипотенузе.
- По свойству она равна половине гипотенузы: CM = 34 : 2 = 17.
Ответ: 17.
Главная ловушка здесь — лишнее данное. Катет BC = 16 в решении не участвует. Его дали, чтобы ты начал считать второй катет по теореме Пифагора и потерял время. Если в условии есть прямой угол, середина гипотенузы и вопрос про отрезок из вершины прямого угла, решение занимает одну строку.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Путают медиану с высотой к гипотенузе. Высоту считают по формуле h = ab/c, и половине гипотенузы она не равна, кроме случая равнобедренного прямоугольного треугольника. Прочитай в условии, какой именно отрезок дан.
- Применяют свойство к медиане, проведённой к катету. Оно верно только для медианы к гипотенузе. Медиану к катету ищут по теореме Пифагора в подходящем треугольнике.
- В обратной теореме теряют, какой угол прямой. Прямым оказывается угол, противолежащий той стороне, к которой проведена медиана, а не угол при этой стороне.
- Начинают длинное решение там, где хватает одной строки. Сначала проверь, не даёт ли ответ равенство CM = ½AB напрямую.
Шпаргалка
- Медиана к гипотенузе: m꜀ = c/2; обратно, c = 2m꜀.
- Три равных отрезка: AM = BM = CM.
- Середина гипотенузы — центр описанной окружности, гипотенуза — диаметр, медиана — радиус.
- Углы: ∠ACM = ∠A, ∠BCM = ∠B, ∠AMC = 180° − 2∠A.
- Обратно: медиана равна половине стороны → угол против этой стороны прямой.
Проверь себя
Все четыре ответа сошлись? Свойство усвоено. Если нет, вернись к доказательству через прямоугольник: когда понимаешь ход доказательства, формулу не нужно зубрить.
Гипотенуза равна 26. Чему равна медиана, проведённая к ней?
Ответ: 13.
Медиана к гипотенузе равна 8,5, один катет равен 8. Найди второй катет.
Гипотенуза 17, второй катет √(289 − 64) = 15.
Острый угол A равен 30°. Найди угол между медианой CM и гипотенузой при вершине M со стороны угла A.
∠AMC = 180° − 60° = 120°.
Медиана треугольника, проведённая к стороне 14, равна 7. Что можно сказать об угле против этой стороны?
Он прямой, по обратной теореме.
