Объём через массу и плотность находят по формуле V = m/ρ: объём равен массе, делённой на плотность.
- Плотность ρ (греческая буква «ро») — это масса единицы объёма вещества.
- Расчёт — если ты знаешь массу тела и материал, из которого оно сделано, объём находится в одно действие, а плотность берут из таблицы.
- Ограничение — такой расчёт верен для однородного тела без полостей. Если внутри тела есть пустоты или оно составлено из разных материалов, в формулу подставляют среднюю плотность, а табличное значение даст неверный внешний объём.
- Пример: сплошное тело массой 7,8 кг из железа (ρ = 7800 кг/м³) имеет объём V = 7,8/7800 = 0,001 м³ = 1 литр.
- Единицы в СИ — массу подставляют в килограммах, плотность в кг/м³, и объём получается в кубических метрах.
Как это спрашивают на экзамене
В заданиях с кратким ответом формулировки бывают разные, например:
«Найдите объём тела по массе и плотности».
«Определите плотность вещества, если известны масса и объём».
«Найдите массу тела, зная объём и материал».
«Решите задачу на плавание тел или давление твёрдого тела, используя связь m, V, ρ».
Если в условии назван материал, а не число, плотность берут из таблицы, приложенной к заданию, или из справочных данных экзамена, если значение там приведено.
Связь массы, объёма и плотности нужна не только в прямых расчётах: на ней строятся задачи на плавание тел, архимедову силу и давление твёрдого тела.
Пример: чтобы найти архимедову силу, часто сначала нужно вычислить объём тела через его массу и плотность.
Формула и три величины: что такое плотность
Плотность вещества ρ — физическая величина, равная отношению массы тела к его объёму:
ρ = m/V
Плотность показывает, какая масса вещества содержится в единице объёма. Из основной формулы выводятся ещё две:
- V = m/ρ — объём через массу и плотность;
- m = ρV — масса через плотность и объём.
Табличная плотность относится к веществу. Для тела формулы V = m/ρ и m = ρV с табличным ρ верны, если тело однородное и сплошное.
Для полого тела или тела из нескольких материалов используют среднюю плотность — отношение всей массы ко всему объёму.
Обозначения: ρ — плотность, m — масса, V — объём. Единицы измерения зависят от системы:
| Система единиц | Плотность ρ | Масса m | Объём V |
|---|---|---|---|
| СИ | кг/м³ | кг | м³ |
| СГС | г/см³ | г | см³ |
Связь между системами: 1 г/см³ = 1000 кг/м³.
Если сомневаешься, не перепутал ли формулу, проверь размерность:
- Ищем объём: [V] = [m]/[ρ] = кг/(кг/м³) = кг·м³/кг = м³. Получилась единица объёма — формула записана верно.
- С массой так же: [m] = [ρ]·[V] = (кг/м³)·м³ = кг.
Такая проверка занимает несколько секунд и сразу показывает перевёрнутую дробь.
Таблица плотностей для задач ЕГЭ
Значения, которые нужны в задачах этой темы:
| Вещество | Плотность, кг/м³ | Плотность, г/см³ | Примечание |
|---|---|---|---|
| Вода | 1000 | 1,0 | при 4 °C |
| Лёд | 900 | 0,9 | плавает в воде |
| Железо | 7800 | 7,8 | |
| Алюминий | 2700 | 2,7 | лёгкий металл |
| Медь | 8900 | 8,9 | |
| Свинец | 11300 | 11,3 | |
| Дерево (сосна) | 400 | 0,4 | так в справочных данных ЕГЭ; плавает в воде |
| Масло подсолнечное | 900 | 0,9 | так в справочных данных ЕГЭ |
| Ртуть | 13600 | 13,6 | плотнее свинца |
| Воздух | 1,29 | 0,00129 | при н.у. |
| Золото | 19300 | 19,3 |
Уточнения к таблице:
- Вода: плотность воды равна 1000 кг/м³ при 4 °C, это её максимальное значение. При других температурах плотность чуть меньше, но в школьных задачах принимают 1000 кг/м³.
- Сосна и масло: реальная плотность сосны зависит от влажности древесины (примерно 400–500 кг/м³), а подсолнечное масло на самом деле чуть плотнее (около 920 кг/м³). Но в задачах ЕГЭ бери значения из справочных данных к варианту: 400 и 900 кг/м³.
- Воздух: значение дано при нормальных условиях: 0 °C и 1 атм.
- Неизвестное вещество: если в задаче тебе дали массу и объём и просят назвать вещество, вычисли ρ = m/V и найди в таблице ближайшее значение.
Примеры расчётов: три типа задач
Задача 1. Найти объём
Дано: m = 2,7 кг; ρ = 2700 кг/м³ (алюминий).
Решение: V = m/ρ = 2,7 кг / (2700 кг/м³) = 0,001 м³ = 1 л.
Задача 2. Найти массу
Дано: V = 0,5 м³; ρ = 1000 кг/м³ (вода).
Решение: m = ρV = 1000 кг/м³ · 0,5 м³ = 500 кг.
Задача 3. Найти плотность и определить вещество
Дано: m = 890 г; V = 100 см³.
Решение: ρ = m/V = 890 г / 100 см³ = 8,9 г/см³. По таблице плотностей это медь.
Переводы единиц, которые понадобятся:
- 1 м³ = 1000 л = 10⁶ см³;
- 1 л = 1 дм³ = 1000 см³;
- 1 кг = 1000 г.
Если условие дано в граммах и кубических сантиметрах, можно считать в СГС без перевода, как в третьей задаче.
Но смешивать системы нельзя: граммы с кг/м³ в одной формуле дают ошибку в тысячу раз.
Связь с другими формулами физики
В задаче формула ρ = m/V редко стоит одна. Через неё плотность входит в другие разделы механики:
- Сила тяжести. F = mg = ρVg. Если масса не дана, а известны объём и материал, силу тяжести считают через плотность.
- Давление столба жидкости. p = ρgh, где ρ — плотность жидкости, h — высота столба.
- Пример: столб воды высотой 10 м создаёт давление p = 1000 · 10 · 10 = 100 000 Па (при g = 10 м/с²).
- Архимедова сила. F_A = ρ_ж·g·V_погр, где ρ_ж — плотность жидкости, а V_погр — объём погружённой части тела. Здесь тебя ждёт ловушка: в формулу входит плотность жидкости, а не тела.
- Условие плавания.
- Если плотность тела меньше плотности жидкости, тело плавает, частично выступая над поверхностью;
- если плотности равны, тело плавает внутри жидкости;
- если плотность тела больше, оно тонет.
- Пример: лёд (900 кг/м³) плавает в воде (1000 кг/м³), а железо тонет.
Разбор задания
Условие. Деталь изготовлена из меди и имеет массу 445 г. Найдите объём детали в кубических сантиметрах.
Шаг 1. Выписываем данные: m = 445 г. Плотность меди берём из таблицы: ρ = 8,9 г/см³. Деталь считаем сплошной.
Шаг 2. Записываем формулу: V = m/ρ.
Шаг 3. Подставляем с единицами: V = 445 г / (8,9 г/см³) = 50 см³.
Ответ: 50 см³.
Проверим тот же расчёт в СИ: m = 0,445 кг, ρ = 8900 кг/м³, V = 0,445/8900 = 5·10⁻⁵ м³ = 50 см³. Результат совпал, значит, единицы согласованы.
Если бы ты подставил 445 г к плотности в кг/м³ и записал результат в кубических метрах, ответ получился бы в тысячу раз больше верного.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Смешанные единицы. Масса в граммах, плотность в кг/м³ — частая причина неверного ответа. Приводи все величины к одной системе до подстановки.
- Перевёрнутая формула. Вместо V = m/ρ пишут V = ρ/m. Проверка размерности выявляет подмену: кг/м³, делённые на кг, объёма не дают.
- Неверный перевод объёма. Путают литры, кубические сантиметры и кубические метры. Опорное равенство: 1 м³ = 1000 л = 10⁶ см³.
- Плотность тела вместо плотности жидкости. В формуле архимедовой силы F_A = ρ_ж·g·V стоит плотность жидкости. Если в задаче о погружённом железном бруске подставить 7800 вместо 1000, ответ будет ошибочным.
- Ответ не в тех единицах или без нужного округления. Здесь две разные ошибки:
- Первая: в задании сказано «ответ дайте в литрах», а ты оставил кубические метры.
- Вторая: в условии указано правило округления (например, до десятых), а ответ записан с другой точностью.
В обоих случаях балл не засчитают даже при верном расчёте.
Шпаргалка
- ρ = m/V — определение плотности;
- V = m/ρ — объём через массу и плотность (для однородного сплошного тела);
- m = ρV — масса через плотность и объём;
- 1 г/см³ = 1000 кг/м³;
- 1 м³ = 1000 л = 10⁶ см³; 1 л = 1000 см³;
- вода — 1000 кг/м³, лёд — 900, железо — 7800, алюминий — 2700;
- тело плавает на поверхности, если его плотность меньше плотности жидкости.
Перед экзаменом проверь, что можешь вывести обе производные формулы из основной: например, выразить V из ρ = m/V, не подглядывая.
Проверь себя
Реши три задачи и сверься с ответами.
Алюминиевый брусок имеет массу 5,4 кг. Найди его объём в литрах.
V = 5,4/2700 = 0,002 м³ = 2 л
Аквариум вмещает 0,05 м³ воды. Какова масса этой воды?
m = 1000 · 0,05 = 50 кг
Слиток массой 193 г занимает объём 10 см³. Из какого вещества он изготовлен?
ρ = 193/10 = 19,3 г/см³ — золото
