Объём цилиндра считают по формуле V = πr²h, где r — радиус основания, h — высота.
- Объём — равен площади основания, умноженной на высоту.
- Основание — круг, его площадь πr², остаётся умножить её на высоту.
- Диаметр — если он дан в условии, формула принимает вид V = πd²h / 4: радиус равен половине диаметра.
- Площадь основания — если она известна, считать ещё короче: V = Sосн · h.
- Три записи — а формула одна: меняется только то, с чего ты начинаешь.
Как это спрашивают на экзамене
Объём цилиндра в стереометрии встречается в нескольких типовых формулировках. Например, задание с кратким ответом может звучать так:
«Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна 5. Найдите объём цилиндра, делённый на π».
«Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если его радиус увеличить в два раза, а высоту оставить прежней?»
«Найдите объём части цилиндра, изображённой на рисунке» — обычно это половина или четверть цилиндра.
«В куб вписан цилиндр. Найдите объём цилиндра, если объём куба равен 8».
Главное: формула во всех четырёх случаях одна. Разными будут данные:
- где-то радиус;
- где-то диаметр;
- где-то объём другого тела, внутри которого стоит цилиндр.
С частью цилиндра тоже ничего нового: сначала находишь полный объём, а потом берёшь от него нужную долю:
- V/2 — для половины;
- V/4 — для четверти.
Формула через радиус, диаметр, площадь основания
Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Основания: два равных круга.
- Высота: перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований.
У прямого цилиндра, который и рассматривают в школьном курсе, эта высота совпадает с длиной образующей, так что в формулу идёт именно она. Записать объём можно тремя способами, и выбор зависит от того, что дано в условии.
| Что дано | Формула | Обозначения |
|---|---|---|
| Радиус основания r и высота h | V = πr²h | r — радиус, h — высота |
| Диаметр основания d и высота h | V = πd²h / 4 | d = 2r — диаметр |
| Площадь основания Sосн и высота h | V = Sосн · h | Sосн = πr² |
Единицы: следи за ними. Если радиус дан в сантиметрах, а высота в метрах, сначала приведи их к одной единице; сам объём измеряется в кубических: см³, м³.
Вывод через диаметр: формула V = πd²h / 4 получается подстановкой r = d/2, ведь квадрат половины диаметра равен d²/4.
Через площадь основания запись удобна, когда Sосн дана прямо в условии или ты уже нашёл её на предыдущем шаге.
Пример: при Sосн = 12 и h = 7 получаем V = 12 · 7 = 84.
Как меняется объём при изменении размеров
Радиус входит в формулу во второй степени, высота — в первой:
- увеличил радиус вдвое — объём вырос в 4 раза;
- удвоил высоту — объём стал больше только в 2 раза.
Проверь на числах. Возьми цилиндр с r = 2 и h = 3:
- Исходный объём: π · 4 · 3 = 12π.
- Радиус до 4: объём становится π · 16 · 3 = 48π, в четыре раза больше.
- Радиус 2, высота до 6: получится π · 4 · 6 = 24π — рост ровно в два раза.
Правила:
- Радиус вырос в k раз — объём в k² раз.
- Высота в k раз — объём тоже в k раз.
- Меняются обе величины — коэффициенты перемножаются.
Пример: радиус ×3 и высота ×2 дают рост объёма в 9 · 2 = 18 раз.
Цилиндр и другие тела
Цилиндр, вписанный в куб, касается всех его граней:
- высота цилиндра равна ребру куба a;
- диаметр основания — тоже ребру a.
Отсюда r = a/2 и V = π · (a/2)² · a = πa³/4.
Пример: допустим, объём куба равен 8, тогда a = 2, а объём цилиндра равен π · 8/4 = 2π.
Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, содержит его внутри:
- основание параллелепипеда вписано в круг основания цилиндра;
- высоты тел совпадают;
- диаметр основания цилиндра равен диагонали основания параллелепипеда.
Пример: для квадратного основания со стороной a диагональ равна a√2, тогда r² = a²/2 и V = πa²h/2.
Ответ в «единицах π» — стандартный приём экзамена. В таких заданиях условие специально требует найти V/π, поэтому в ответ идёт числовое значение без π.
Главное: не подставляй π ≈ 3,14: оставь π множителем, а в конце раздели на него.
Разбор задания
Условие: диаметр основания цилиндра равен 6, высота равна 5. Найдите объём цилиндра, делённый на π.
- Радиус — половина диаметра: r = 6 : 2 = 3.
- Подставляем в формулу: V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π.
- По условию нужен объём, делённый на π: 45π / π = 45.
Ответ: 45.
Проверка тем же путём, но через диаметр: V = πd²h / 4 = π · 36 · 5 / 4 = 180π / 4 = 45π. Сошлось.
Если решаешь через одну запись формулы, а проверяешь через другую, случайная арифметическая ошибка почти всегда обнаружится.
Ошибки, за которые снимают баллы
- Диаметр подставляют вместо радиуса. В условии дано d = 6, а в формулу V = πr²h подставляют шестёрку вместо трёх. Объём выходит в 4 раза больше верного. Первым действием смотри, что именно дано — радиус или диаметр.
- Потерянный квадрат радиуса. Пишут V = πrh, ответ не совпадает ни с одним вариантом, а время на пересчёт уже ушло. Проговаривай формулу целиком: «пи эр квадрат аш».
- π не сократили, когда просят V/π. Получилось 45π — в бланк идёт 45, а не 141,3. Подстановка π ≈ 3,14 здесь лишняя и вносит погрешность.
- Объём путают с площадью поверхности. Величины разные, формулы разные, единицы тоже: объём в кубических, площадь в квадратных. Дочитай вопрос до конца, прежде чем считать.
- Единицы измерения смешаны. Радиус в сантиметрах, высота в метрах — приведи всё к одной единице, иначе результат бессмысленный.
Шпаргалка
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём через радиус | V = πr²h |
| Объём через диаметр | V = πd²h / 4 |
| Объём через площадь основания | V = Sосн · h |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = 2πrh |
| Площадь полной поверхности | Sполн = 2πr(r + h) |
| Радиус через диаметр | r = d/2 |
Перед решением задач проверь по таблице, помнишь ли ты все шесть строк.
Проверь себя
Перед экзаменом повтори в первую очередь три записи формулы объёма и правило про квадрат радиуса: на них строится большинство задач с цилиндром.
Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 10. Найдите объём цилиндра, делённый на π.
40.
Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если его радиус увеличить в 3 раза, а высоту не менять?
в 9 раз.
Диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна 3. Найдите объём цилиндра, делённый на π.
75.
Площадь основания цилиндра равна 15, высота равна 4. Найдите объём цилиндра.
60.
