Высота равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле h = a·√3/2.
- Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.
- Три высоты равностороннего треугольника равны между собой, поэтому одной формулы хватает на любую из них.
- Теорема Пифагора — откуда берётся множитель √3/2: высота делит равносторонний треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой a и катетом a/2, а второй катет и есть искомая высота.
- Дальше — вывод по шагам, свойства фигуры и задача в формате ОГЭ.
Как это спрашивают на экзамене
Тема встречается в заданиях по планиметрии с кратким ответом. Формулировки типовые:
«Сторона равностороннего треугольника равна 12. Найдите его высоту».
«Высота равностороннего треугольника равна 5√3. Найдите его сторону».
«Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна 8».
«Найдите радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 6».
Все четыре типа сводятся к одной цепочке: сторона → высота → площадь и радиусы.
Знаешь формулу высоты — остальные величины досчитываются за один шаг.
Вывод формулы
Проведём высоту из вершины равностороннего треугольника к противоположной стороне.
В равностороннем треугольнике высота совпадает с медианой, поэтому делит основание пополам: два отрезка по a/2.
Получился прямоугольный треугольник:
- Гипотенуза a — боковая сторона.
- Катет a/2 — половина основания.
- Катет h — высота.
Запишем теорему Пифагора и выразим h:
h² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4
h = a·√3/2
Обозначения: a — сторона равностороннего треугольника, h — его высота.
Пример: пусть a = 8, тогда h = 8·√3/2 = 4√3.
Главное: формула применима только к равностороннему треугольнику.
Вывод опирается на то, что высота делит основание пополам, а это выполняется лишь при равных боковых сторонах; в произвольном треугольнике основание на равные части не делится, и выкладка не работает.
Начерти этот треугольник на черновике сам: вывод запоминается именно по чертежу.
Свойства равностороннего треугольника
Половину задач здесь закрывают не вычисления, а память на то, какие отрезки совпадают.
| Свойство | Что это даёт в задаче |
|---|---|
| Все углы равны 60° | Можно применять тригонометрию: h = a·sin 60° |
| Каждая высота — одновременно медиана, биссектриса и серединный перпендикуляр | Один отрезок делит и сторону, и угол пополам |
| Центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр и центр тяжести совпадают | Все четыре центра лежат в точке пересечения высот |
| Точка пересечения делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины | Отсюда r = h/3 и R = 2h/3 |
Термины:
- Медиана — отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
- Биссектриса — отрезок, делящий угол пополам.
- Серединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через её середину.
- Вписанная окружность касается всех сторон изнутри, описанная проходит через все вершины.
Ловушка: совпадение высоты, медианы и биссектрисы — свойство именно равностороннего треугольника.
В равнобедренном треугольнике они совпадают лишь для отрезка, проведённого к основанию, и переносить свойство целиком туда нельзя.
Связанные формулы
Через сторону a выражаются все основные величины:
- Площадь: S = a²·√3/4. Формула получается из S = ½·a·h подстановкой h = a·√3/2.
- Радиус вписанной окружности: r = h/3 = a·√3/6.
- Радиус описанной окружности: R = 2h/3 = a·√3/3.
Обратный переход тоже нужен часто: если известна высота, сторона равна a = 2h/√3 = 2h√3/3.
Пример: при h = 9 получаем a = 2·9√3/3 = 6√3.
Если в условии дана площадь, а нужна высота, иди обратным ходом: из S = ½·a·h следует h = 2S/a.
Пример: при S = 9√3 и a = 6 получаем h = 2·9√3/6 = 3√3.
Радиусы связаны с высотой через ту же точку пересечения высот: она делит каждую высоту в отношении 2:1 от вершины.
- Отрезок от центра до стороны — r = h/3.
- Отрезок от центра до вершины — R = 2h/3.
- Отсюда же соотношение R = 2r.
Разбор задания
Условие. Сторона равностороннего треугольника равна 6√3. Найдите его высоту и площадь.
Решение.
- Высота: h = a·√3/2 = 6√3·√3/2 = 6·3/2 = 9.
- Площадь через сторону: S = a²·√3/4 = (6√3)²·√3/4 = 108·√3/4 = 27√3.
Ответ: h = 9, S = 27√3.
Проверка: посчитай площадь вторым способом, через основание и высоту: S = ½·a·h = ½·6√3·9 = 27√3. Сошлось.
Такой пересчёт занимает полминуты и страхует от арифметической ошибки.
Ошибки, за которые снимают баллы
- √3/2 путают с √2/2. Множитель √2/2 относится к углу 45° и диагонали квадрата, а здесь угол 60°, значит работает √3/2. Забыл, какой из них где? Восстанови формулу через теорему Пифагора.
- Делят на 2 вместо умножения на √3/2. Половина стороны высотой не является: a/2 — это катет напротив угла 30°. Подставь числа: при a = 2 высота равна √3, а не 1.
- Радиусы записывают наоборот. Верно r = h/3 и R = 2h/3. Описанная окружность больше вписанной, и радиус у неё больше — ему и достаётся 2h/3.
- Высоту принимают за сторону. Если в условии дана высота, сторону сначала выражают: a = 2h/√3 = 2h√3/3. Подстановка высоты в формулу площади вместо стороны даёт неверный ответ.
- Корень извлекают приближённо. Ответ 27√3 не заменяют на 46,77: числа в таких задачах подобраны так, чтобы корень либо сократился, либо остался в точном виде. Формат записи краткого ответа сверяй с демоверсией.
Шпаргалка
Слева пересчёт от стороны, справа — от высоты. Если в условии дана высота, тебе нужна правая колонка.
| Величина | Через сторону a | Через высоту h |
|---|---|---|
| Высота | h = a·√3/2 | — |
| Площадь | S = a²·√3/4 | S = h²·√3/3 |
| Радиус вписанной окружности | r = a·√3/6 | r = h/3 |
| Радиус описанной окружности | R = a·√3/3 | R = 2h/3 |
| Сторона | — | a = 2h·√3/3 |
Проверь себя
Перед экзаменом повтори в первую очередь формулу h = a·√3/2 вместе с её выводом: из неё восстанавливаются и площадь, и оба радиуса.
Сторона равностороннего треугольника равна 10. Чему равна его высота?
h = 5√3.
Высота равностороннего треугольника равна 12. Найдите его сторону.
a = 24/√3 = 8√3.
Сторона равностороннего треугольника равна 4. Найдите его площадь.
S = 4√3.
Высота равностороннего треугольника равна 6. Найдите радиус вписанной окружности.
r = 2.
