Площадь треугольника через синус: формула, доказательство и задачи ОГЭ

Как это спрашивают на экзамене

Теорема о площади треугольника: как она в учебнике

В учебнике Атанасяна теорема звучит так: «Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними».

Источник: Атанасян Л.С. и др., «Геометрия 7–9», гл. XI «Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов», §2, п. 96 «Теорема о площади треугольника» (нумерация пунктов по изданиям до 2023 года).

У Мерзляка эта теорема есть в учебнике «Геометрия 9», гл. 1 «Решение треугольников», §5 «Формулы для нахождения площади треугольника».

В виде формулы: S = ½·a·b·sin γ, где a и b — две стороны, γ — угол между ними.

Через вершины: S = ½·AB·BC·sin∠ABC. Угол при вершине B общий для сторон AB и BC, поэтому он и заключён между ними.

Обрати внимание на условие применимости. Синус берётся у угла между двумя данными сторонами, а не у противолежащего.

Пример: если известны AB и BC, а в задаче дан угол A, подставлять его к этой паре сторон нельзя. Сначала выбери стороны, между которыми лежит угол A (это AB и AC), или найди угол B.

Дано	Какая формула	Пример
Две стороны и угол между ними	S = ½·a·b·sin γ	8 и 12, угол 30°: S = ½·8·12·½ = 24
Две стороны и синус угла между ними	S = ½·a·b·sin γ	AB = 8, BC = 14, sin∠ABC = 1/4: S = 14
Две стороны параллелограмма и угол между ними	S = a·b·sin α	Стороны 6 и 8, угол 30°: S = 24

Доказательство через высоту

Доказательство короткое, зато по нему видно, откуда в формуле берётся синус.

Пусть AC = a, AB = b, а угол между ними при вершине A равен γ. Проведём высоту BH из вершины B на сторону AC.

В прямоугольном треугольнике ABH катет BH лежит против угла γ, гипотенуза AB равна b. По определению синуса острого угла h = b·sin γ.

Подставим высоту в базовую формулу площади: S = ½·a·h = ½·a·b·sin γ. Для острого угла доказательство готово.

А если угол γ тупой? Тогда основание высоты попадает не на сторону AC, а на её продолжение.

В прямоугольном треугольнике ABH при вершине A окажется угол 180° − γ, и высота h = b·sin(180° − γ). По формуле приведения sin(180° − γ) = sin γ, значит, результат тот же: S = ½·a·b·sin γ.

Угол 120° или 150° в условии не требует другой формулы.

Таблица синусов и обратная задача

Для работы с формулой нужно помнить синусы табличных углов. Заметь: у углов, которые в сумме дают 180°, синусы равны.

Угол	sin	Пример сторон	Площадь
30° или 150°	½	10 и 6	15
45° или 135°	√2/2	6√2 и 5	15
60° или 120°	√3/2	5 и 8	10√3
90°	1	8 и 12	48

Теперь обратная задача. Пусть S = 30, а стороны равны 10 и 12. Выразим синус из формулы: sin γ = 30/(½·10·12) = 30/60 = 0,5.

Отсюда γ = 30° или 150°. По одному синусу угол определяется неоднозначно: нужно дополнительное условие, острый угол или тупой.

Если в задаче спрашивают только синус, неоднозначности нет, записывай 0,5.

Кроме формулы через синус, площадь находят и другими способами.

• Формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр.
• Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: S = pr, где r — радиус вписанной окружности, p — полупериметр.
• Равенство получается так: центр вписанной окружности соединяют с вершинами, и треугольник делится на три треугольника с основаниями a, b, c и общей высотой r.
• Их площади в сумме дают ½·a·r + ½·b·r + ½·c·r = ½·(a + b + c)·r = pr.
• Через радиус описанной окружности: S = abc/(4R).

Сравним все способы на треугольнике со сторонами 13, 14, 15.

• Полупериметр: p = 21.
• По Герону: S = √(21·8·7·6) = √7056 = 84.
• Радиус вписанной окружности: r = S/p = 4.
• Радиус описанной: R = abc/(4S) = 2730/336 = 65/8 = 8,125.
• Через синус: косинус угла между сторонами 13 и 15 равен (13² + 15² − 14²)/(2·13·15) = 198/390 = 33/65, тогда sin = 56/65 и S = ½·13·15·(56/65) = 84.

Результаты сходятся — таким сравнением удобно проверять себя.