Угол между хордой и касательной, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.
- Пример: хорда стягивает дугу 92°. Тогда угол при точке касания равен 92° : 2 = 46°.
- Вписанный угол: этот же угол равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Определение: вписанный угол — это угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.
- Взаимозаменяемость: формулировки взаимозаменяемы, вписанный угол тоже измеряется половиной дуги, на которую опирается.
- Выбор: выбирай ту формулировку, что удобнее в конкретной задаче.
Как это спрашивают на экзамене
В задачах по планиметрии с кратким ответом теорема встречается в трёх типовых формулировках.
«Хорда стягивает дугу заданной величины. Найдите угол между хордой и касательной в её конце».
«Угол между хордой и касательной известен. Найдите меньшую дугу».
«Касательные из одной точки пересекаются под данным углом. Найдите угол между касательной и хордой, соединяющей точки касания, или угол при центре».
Первые два типа решаются в одно действие: умножить или разделить на два.
Пример: дан угол 40°, и ты сразу получаешь дугу 80°.
Третий тип — нужен ещё один шаг: отрезки касательных равны и образуют равнобедренный треугольник, через него находят центральный угол или угол при хорде.
Теорема: как она записана в учебнике
В учебнике Атанасяна Л. С. и др. «Геометрия 7–9» тема относится к главе VIII «Окружность», §2 «Центральные и вписанные углы». Утверждение сформулировано как задача на доказательство:
«Прямая AM — касательная к окружности, AB — хорда этой окружности. Докажите, что угол MAB измеряется половиной дуги AB, расположенной внутри угла MAB».
Обрати внимание на оборот «измеряется половиной дуги». Так пишут в учебнике, и в развёрнутом решении лучше держаться этой формулировки.
Встречается и другая редакция того же утверждения:
«Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними».
Есть формулировка через вписанный угол:
«Угол между касательной и хордой, выходящей из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу».
Где искать тему в других учебниках:
- У Мерзляка А. Г., Полонского В. Б., Якира М. С. в «Геометрии 8» тема находится в §9 «Центральные и вписанные углы».
- В углублённом учебнике Мерзляка — Полякова для 8 класса ищи §9 «Применение свойств центральных и вписанных углов при решении задач», пункт «Свойство угла между касательной и хордой».
Касательная и хорда образуют в точке касания два смежных угла. Каждому соответствует своя дуга:
- меньшему углу — меньшая дуга;
- большему — большая.
Дальше в статье рассматриваем меньший угол и меньшую дугу, если в условии не сказано иное.
Из теоремы вытекают два следствия.
- Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Если хорда — диаметр, угол между ней и касательной равен 90°.
При таком соглашении искомый угол не превосходит 90°: он равен половине дуги внутри него, а меньшая дуга не больше 180°. Ровно 90° получается, только когда хорда — диаметр.
Если для меньшего угла у тебя вышло 100°, ищи ошибку в расчёте. Смежный с ним больший угол равен 180° минус меньший и измеряется половиной большей дуги.
Доказательство за четыре шага
Дана окружность с центром O, хорда AB и касательная AM в точке A. Требуется доказать, что угол MAB равен половине дуги AB, лежащей внутри него.
Шаг 1. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: ∠OAM = 90°.
Шаг 2. Треугольник AOB составлен из двух радиусов OA, OB и хорды AB. Он равнобедренный, так как OA = OB, и углы при основании AB у него равны.
Шаг 3. Центральный угол ∠AOB равен градусной мере дуги AB. Сумма углов треугольника равна 180°, отсюда каждый угол при основании равен (180° − ∠AOB) / 2.
Шаг 4. Угол MAB дополняет угол при основании до 90°: 90° − (180° − ∠AOB) / 2 = ∠AOB / 2, то есть половина дуги AB. Что и требовалось доказать.
Если тебе удобнее идти «от угла», запиши доказательство иначе:
- Пусть ∠MAB = φ.
- Тогда ∠OAB = 90° − φ, а центральный угол равен 180° − 2(90° − φ) = 2φ.
- Центральный угол равен градусной мере дуги, и φ оказывается её половиной.
Таблица: дуга, угол между хордой и касательной, вписанный угол
Дуга внутри угла вдвое больше и угла при точке касания, и вписанного угла, опирающегося на эту дугу.
Пример: в строке с дугой 120° оба угла равны 60°.
Если сомневаешься в ответе, сверь его с таблицей.
| Дуга | Угол между хордой и касательной | Вписанный угол на ту же дугу |
|---|---|---|
| 60° | 30° | 30° |
| 90° | 45° | 45° |
| 92° | 46° | 46° |
| 120° | 60° | 60° |
| 180° (хорда — диаметр) | 90° | 90° |
Разбор задания
Условие. Угол между хордой AB и касательной, проведённой в точке B, равен 32°. Найдите градусную меру меньшей дуги, стягиваемой хордой AB.
Решение. По теореме угол при точке касания измеряется половиной дуги, заключённой внутри угла. Если эта дуга равна x, то 32° = x / 2, откуда x = 64°.
Осталось проверить, что найдена меньшая дуга. Дуга 64° меньше 180°, вторая дуга равна 360° − 64° = 296°. Условие выполнено.
Ответ: 64
Теперь пример на третий тип.
Условие. Касательные PA и PB к окружности с центром O пересекаются под углом 50°. Найдите угол между касательной PA и хордой AB.
Решение.
- Радиусы OA и OB перпендикулярны касательным, поэтому в четырёхугольнике OAPB два угла прямые и ∠AOB = 360° − 90° − 90° − 50° = 130°.
- Центральный угол равен меньшей дуге AB, значит, дуга равна 130°.
- Угол между касательной и хордой — её половина: 130° : 2 = 65°.
- Проверка через равнобедренный треугольник PAB (PA = PB): углы при основании равны (180° − 50°) / 2 = 65°.
Ответ: 65
Ошибки, за которые снимают баллы
Умножение вместо деления и наоборот. Дана дуга — дели её на два. Дан угол — удваивай.
Перед записью ответа проверь себя: меньший угол при точке касания не больше 90°, а дуга внутри рассматриваемого меньшего угла не превосходит 180°.
Если в задаче про меньший угол у тебя вышло 130°, скорее всего, ты пересчитал не в ту сторону.
Не та дуга. Хорда делит окружность на две дуги, а в теореме участвует та, что лежит внутри угла. Спрашивают большую дугу? Сначала найди дугу внутри угла, потом вычти её из 360°.
Путаница с центральным углом. Центральный угол равен дуге целиком, угол при точке касания — её половине. Запись «угол равен дуге» в решении — ошибка даже при верной идее.
Перпендикуляр не к той хорде. Радиус перпендикулярен касательной в точке касания. К хорде он перпендикулярен быть не обязан, и переносить свойство касательной на хорду без обоснования нельзя.
Шпаргалка
- Угол между хордой и касательной = половина дуги внутри угла.
- Этот угол = вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
- Дуга = удвоенный угол при точке касания.
- Хорда — диаметр ⟺ угол равен 90°.
- Для меньшего из двух смежных углов: угол не больше 90°, дуга внутри него не больше 180°.
- Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: с этого начинается доказательство и большинство задач.
Проверь себя
Реши устно и сверься с ответами.
Хорда стягивает дугу 140°. Найдите угол между хордой и касательной в конце хорды. **
** 70
Угол между хордой и касательной равен 55°. Найдите меньшую дугу, стягиваемую хордой. **
** 110
Хорда — диаметр окружности. Чему равен угол между ней и касательной? **
** 90
